Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство высшего образования Украины

Национальный Технический Университет Украины

“Киевский политехнический институт”

Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления

К о н т р о л ь н а я р а б о т а

по дисциплине :

“ Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант № 24

Выполнил студент гр. ЗІС - 91

ІІI курса факультета ФИВТ

Луцько Виктор Степанович

2009г.

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

Исходные данные: N=18.

Решение задачи:

Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Р(А) =	m
	n

где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;

m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.

а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:

n = 36;m = 36

	Р(А) =	36	=	1 ;
		36

б) при произведении числа очков, не превосходящих N:

n = 28;m = 36

	Р(А) =	28	=	7	» 0,778 ;
		36		9

в) при произведении числа очков, делящихся на N:

n = 3;m = 36

	Р(А) =	3	=	1	» 0,083 .
		36		12

Ответы:

а) Р(А) = 1 ;

б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;

в) Р(А) = 1/12 » 0,083.

Задача 2

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т₁ первосортных, т₂, т₃ и т₄ второго, третьего и четвертого сорта соответственно .

Исходные данные: n₁ = 3; n₂ = 1; n₃ = 6; n₄ = 2;m₁ = 2; m₂ = 1; m₃ = 3; m₄ = 1.

Решение задачи.

1)         Определяем количество способов нужной комбинации:

С¢ = С_n1^m1 x С_n2^m2 x С_n3^m3 x С_n4^m4 = С₃² x С₁¹ x С₆³ x С₂¹ ;

2)         Определяем количество всех возможных способов:

С¢¢ = С_n1+n2+n3+n4^m1+m2+m3+m4 = С₁₂⁷ ;

3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:

Р =	С32 x С11 x С63 x С21	=	3 х 1 х	4 х 5 х 6	х 2	=
				2 х 3
	С127		8 х 9 х 10 х 11 х 12
			2 х 3 х 4 х 5

	=	3 х 5	=	5	» 0,15
		9 х 11		33

Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .

Задача 3

Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них  выигрышных.

Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.

Решение задачи.

k=4

n=8

Общее число случаев, очевидно, равно С_n^m , число благоприятных случаев С_k^l x С_n-k^m-l , откуда:

Р(А) =	Сkl x Сn-km-l	=	С43 x С8-45-3	=	3	» 0, 4286 .
	Сnm		С85		7

Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 . Задача 7

В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S₁ и S₂. Исходные данные:R =14; S₁ = 2,6; S₂ = 5,6.

Решение задачи

S1   R
					P(A) =	S	.
S2						pR2

P(A1) =	S1	=	2,6	» 0,0042246 ;
	pR2		3,14 x 142

P(A2) =	S2	=	5,6	» 0,0090991 ;
	pR2		3,14 x 142

P(A) =	S1+ S2	=	2,6 + 5,6	=	8,2	» 0,013324 .
	pR2		3,14 x 142		615,44

Ответ: Р(А) » 0,013324 .

Задача 8

В двух партиях k₁ и k₂ % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные данные: k₁ = 81; k₂ = 37.

Решение задачи

События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:

Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .

Для любых событий А и В имеет место формула:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .

Обозначения:

Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k₁) ;

Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k₂) .

События А и В – независимые.

а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k₁) + (1 – k₂) – (1 – k₁)(1 – k₂) =

= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .

б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АÇВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k₁)(1 – k₂) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .

в) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k₁)k₂ + (1 – k₂)k₁ =

= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .

Ответы:

а) » 0,70;

б)» 0,12;

в)» 0,58.

Задача 9

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р₁ вторым — р₂ . Первый сделал n₁, второй — n₂ выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные данные: p₁ = 0,33; p₂ = 0,52; n₁ = 3; n₂ = 2.

Решение задачи.

Обозначения:

А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р₁) ;

В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р₂) ;

Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.

Р = (1 – р₁)ⁿ¹ x (1 – р₂)ⁿ² = (1 – 0,33)³ x (1 – 0,52)² = 0,67³ x 0,48² » 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .

Ответ:» 0,07 .

Задача 12

Из 1000 ламп n_i принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Исходные данные: n₁ = 350; n₂ = 440.

Решение задачи

Рассмотрим три гипотезы:

Н₁ – выбор лампы из первой партии;

Н₂ – выбор лампы из второй партии;

Н₃ – выбор лампы из третьей партии;

а также событие А – выбор бракованной лампы.

Учитывая то, что Н₁, Н₂, Н₃ – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):

		3
	Р(А) =	å P(Hi) x P(A/Hi) .
		i=1

Тогда:

P(H₁) = 350/1000 = 7/20 ;

P(H₂) = 440/1000 = 11/25 ;

P(H₃) = 210/1000 = 21/100 .

Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .

Ответ: Р(А) = 0,0514 .

Задача 18

На каждый лотерейный билет с вероятностью p₁ может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р₂. — мелкий выигрыш и с вероятностью р₃ билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n₁ крупных выигрышей и n₂ мелких.

Исходные данные: n = 14; n₁ = 5; n₂ = 4;p₁ = 0,25; p₂ = 0,35.

Решение задачи

Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):

Pn(m1,m2,…,mk) =	n!	p1m1 p2m2 … pkmk .
	m1! m2!…mk!

В задаче: А₁ – билет оказался с крупным выигрышем;

А₂ – билет оказался с мелким выигрышем;

А₃ – билет оказался без выигрыша.

Р14(5,4,5) =	14!	х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 =	6х7х8х9х10х11х12х13х14	х
	5! 4! 5!		2х3х4х2х3х4х5

х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х

х 0,01024 » 0,0378.

Ответ: Р » 0,0378 .

Задача 19

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».

Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.

Решение задачи

q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .

Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:

Рn(m) »	am	e-a , a = np .
	m!

Подсчет вручную дает следующие результаты:

Рn(m) »	59	х	1	»	58	х	1	»
	2х3х4х5х6х7х8х9		е5		2х3х4х6х7х8х9		2,75

»	390625	»	390625	» 0,03751 .
	72576 х 143,5		10 413 862

Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где

Р_n(m) » 0,03627 .

Ответ: Р_n(m) » 0,03627 .

Задача 20

Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.

Варианты 22—31:

Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k₁ = - ; k₂ = 40.

Решение задачи

Вероятность Р_n(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:

P_n(m) = C_n^mp^mq^n-m, m = 0,1,2,…,n (1)

где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.

Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.

При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:

(2)

где:

(3)

где:

(4)

(5)

(6)

Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].

З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.

З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).

В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.

npq = 21, следовательно npq > 9.

При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .

Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).

Тогда:

k2 – np	»	40 – 30	»	10	» 2,18 .
Ö npq		4,58		4,58

k1 – np	»	0 – 30	»	-30	» - 6,55 .
Ö npq		4,58		4,58

P_n(m £ k₂) » Ф(х₂) – Ф(х₁) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »

» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .

Ответ: P_n(m £ 40) » 0,98537 .

Задача 21

Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х₁ < x < х₂

Варианты 17-24:  

Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x₁ = -1; x₂ = 1.

Решение.

 

Р(х) =	í	g, х Î [-1,5, 1],
		0, x Ï [-1,5, 1].

 

Найдем g. Должно выполняться соотношение:F_x(+¥) = 1;

ò p(x)dx = 1;		ò gdx = 1;	gx	1	= 1;	g *(1+1,5) = 1;	g =	1	=2/5 .
				-1,5				2,5
-¥		-1,5

	1
Найдем: Мx =	ò х 2/5 dx =	2 х2	1	=	1/5 (1-2,25) =	-1,25	= -0,25 .
		5 2	-1,5			5
	-1,5

	1
Найдем: Dx = Мx2 – (Мx)2 =	ò 2/5 x2 dx – 0,0625 = 2/5	x3	1	- 0,0625 =
		3	-1,5
	-1,5

= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .

í

0 ,

x < -1,5;

x

x

Найдем: Fx (x)=

ò p(х) dx =

ò g dt ,

-1,5 £ x < 1;

-¥

-1,5

1 ,

x ³ 1 .

x

x

ò g dt =

g t

=

g x + 1,5g =

2/5x + 0,6 .

-1,5

-1,5

 

Найдем: P{-1<x<1} = F_x (1) - F_x (-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 .

Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) F_x (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5.

Список использованной литературы

1.   Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с.

2.   Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.

3.   Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с.

4.   Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.