Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Выполнил

студент 5 курса

математического факультета

Чупраков Дмитрий Вячеславович

_____________________/подпись/

Научный руководитель:

д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

_____________________/подпись/

Рецензент:

к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных

_____________________/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

(подпись) “__” _________

Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина

(подпись) “__” _________

Киров

2005

Содержание

Содержание. 2

Введение. 3

Глава 1. 5

1.1. Базовые понятия и факты.. 5

1.2. Простое расширение Q⁺(a) 5

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7

Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел 9

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом 12

2.4. Примеры.. 20

Литература. 22

Введение

Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа

Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.

Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.

В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.

Основными результатами работы являются:

·     Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.

·     Теорема 2.3.1. Если , то  – поле тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида .

·     Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что  и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность  задается следующим образом:

Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.

·     Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел  расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Глава 1. 1.1. Базовые понятия и факты

Определение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем, если

(1)  <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;

(2)  <Р, ×> – группа с 1;

(3)  Дистрибутивность

a.  

b.  

(4) 

Не сложно показать, что Q⁺ является полуполем.

Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).

1.2. Простое расширение Q⁺(a)

Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q⁺ в качестве полутела.

Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sÎS, что s+s¹s. Откуда

.

Рассмотрим суммы единиц. Через  обозначим сумму k единиц (при kÎN). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что  при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mÎN. Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим

.

Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь

 для любого tÎN.

По свойству Архимеда, найдется такое tÎN, что tl>n. При k=tl имеем  и n<k. Тогда

.

Откуда 1=1+1 (). Получили противоречие.

Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q⁺, причем, очевидно, операции в Q⁺ и S согласованы.

■

Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q⁺.

Доказательство. Заметим, что Q⁺(a) – полуполе. Кроме того, а Î Q⁺(a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .

Предположим, что есть полуполе P меньшее Q⁺(a), содержащее а и Q⁺. Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P – полуполе, то . Таким образом, . Так как P – минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q⁺.

■

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q.

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .

Покажем, что любое равенство  получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а  – минимальный многочлен для a. Представим , где  составлен из положительных одночленов многочлена h, а  ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что

,

не имеют подобных членов.

Аналогично найдем , что

 и

 

не имеют подобных членов.

Получаем

Так как  не имеют подобных членов и  не имеют подобных членов, то

,   или

, .

Найдем значения этих многочленов в точке а.

,.

Итак,

,

.

То есть,  тогда и только тогда, когда .

Будем говорить, что Q⁺(a) порождается минимальным соотношением .

Глава 2. Однопорожденные полуполя 2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения  справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть  простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1)  – поле;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство.

·   (1)®(2): Пусть  – поле. Так как  - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, .

·   (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что

.

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент  не будет обратим. Рассмотрим

 и

,

тогда

.

По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

·   (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0.

·   (4)®(5): Пусть , покажем, что .

Так как h(a)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим

.

Если b₀≠0, то

.

Если h₀=0, то

.

Так как a≠0, то

.

Тогда

.

Итак, .

·   (5)®(1): Пусть , покажем, что Q⁺(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q⁺(a) – полуполе. Рассмотрим bÎQ⁺(a), тогда . b + (‑b)=0. То есть, Q⁺(a) – поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■

Доказанный факт влечет следующую теорему.

 

Теорема 2.1.2. Пусть Q⁺(a) простое расширение Q⁺, a – алгебраический элемент над Q⁺. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) Q⁺(a) –полуполе;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).

Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q⁺(a) не является полем, а значит Q⁺(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),

("hÎQ⁺[a], h≠0) h(a)≠0.

То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x+y)(a)=0. Тогда

.

Тогда (x_i+y_i)=0.

Так как x_iÎQ⁺ и y_iÎQ⁺, то x_i=y_i=0. А значит, x=y=0.

Теорема доказана.

■

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.

Доказательство. Пусть ,  и при a > 0. Тогда  находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.

Очевидно, существует натуральное n, что  лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, , где c < 0, . Значит, и . По теореме 2.1.1,  – поле. Очевидно, что . То есть,  является полем С.

Аналогично рассматривается случай ■

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

Теорема 2.3.1. Если , то  – поле тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле.

Доказательство. По теореме 2.1.1 Q⁺(ai) – поле равносильно существованию

f¹0, f(ai)=0.

Так как все степени aiÎQ⁺(ai). Рассмотрим некоторый многочлен

.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.

То есть,

Это верно тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле.

Получили, что Q⁺(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле. ■

Как следствие получаем более ценные утверждения.

Следствие 1. Если , то Q⁺(ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – полуполе.

Следствие 2. Если  и Q⁺(-b²) – полуполе, aÎQ⁺(-b²), то Q⁺(a + bi) – полуполе.

 

Теорема 2.3.2. Пусть  – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда  – полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.

Доказательство. Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда , где D – дискриминант минимального соотношения.

Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид . Если b, c ≥ 0, то имеем многочлен из . Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если многочлен не имеет действительных корней, то

(*)

То есть, .

Рассмотрим .

При  получаем многочлен из Q⁺[x]. Пусть . Введем обозначения:

, , ,

, , .

Тогда многочлен примет вид . Умножим его на , получим многочлен . Если , то это искомый многочлен иначе умножим его на .

Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q⁺. Докажем, что найдется такие k, что . При этом . Для начала найдем дискриминант уравнения .

То есть, дискриминант D_l+1 имеет тот же знак, что и D_l. Так как D₀<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант D_l<0.

Рассмотрим неравенство , подставим , . Получим

.

То есть,

.

Зная, что  заметим

.

Итак, для доказательства нам достаточно установить, что

.

То есть,

.

Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство

.

Тогда

.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что

.

Используя оценку и деля на положительный элемент , получаем

.

Обозначим . Рассмотрим отображение , заданное по правилу . При , . Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: . Откуда . Заметим, что . Последовательность стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*). Итак, мы доказали, что . То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак, мы доказали, что если  удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то  – поле. ■

Следствие 1. Если  – мнимый корень квадратного трехчлена, то  ‑ поле.

Следствие 2. Любое простое расширение  является полем , порожденным минимальным соотношением 2 степени.

Доказательство.

Заметим, что . Покажем, что для любого aÎQ найдется такой квадратный многочлен , что  - его корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда . Очевидно, . Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть,  - поле. ■

Рассмотрим последовательность действительных чисел :

(**)

Будем говорить, что последовательность  задается числами p и q.

Лемма 2.3.3. Существует n, что .

Доказательство. Пусть . Покажем, что последовательность  убывающая.

,

то есть .

Пусть , тогда

Так как ,  то

Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что , то есть  - убывающая.

Так как  - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует . Тогда .

То есть, . Но тогда

,

,

что невозможно для . То есть, . ■

Лемма 2.3.4. Если , то существует , что .

Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:

,  Так как , то существует k, что  и .

Тогда . Рассмотрим число .

То есть, . ■

 

Теорема 2.3.5. Если  и , то

.

Доказательство. По лемме 2.3.3, . Пусть .

Если n=1, то . Рассмотрим .

То есть,

.

Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда

.

Рассмотрим n > 1.

Пусть .

Покажем, что

Раскроем скобки и сгруппируем члены при x^j.

То есть,

Заметим, что . Для существования , по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий  и , то есть, . Обозначим . Так как , то  и . Для существования  достаточно доказать существование  и . То есть, . Обозначим . Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По лемме 2.3.4,  существует, если  и . Эти условия следуют из того, что  и .

Таким образом, доказано существование

■

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что  и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.

Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида , где , последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида  существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен .  так как  и . Кроме того , а остальные множители многочлена  имеют вид  или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле. ■

Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел  расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что  – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но . Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть  – полуполе. ■

2.4. Примеры

1.   Рассмотрим . Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7,  - полуполе. Аналогично доказывается, что  – полуполе.

2.    – полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.

3.   Покажем, что  – полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7,  ‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1,  – полуполе. . То есть,  – полуполе.

4.   , минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен  имеет положительный корень, а значит  - полуполе.

Теперь приведем примеры полей.

5.    является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид .

6.   Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен  делит . То есть,  – поле. Несложно видеть, что . Итак, .

7.   Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда  – поле.

8.   Пусть  , если , то  – поле. Так как , то  Если , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q. . По теореме 2.3.7,  – поле.

Литература

1.   Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000

2.   Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.

3.   Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.