Основные понятия математического анализа

1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (∫f(x)dx). Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx

5. Выр. ∫dF(x) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, С=const.

Док-во: F(x)+C – первообр, тогда (F(x)+C)’= F’(x)+C’= F’(x)=f(x) Ф(х) – -тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С

6. Если k-const, ненулевое число, то ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx –k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). èk∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC 7. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du= F(u)+C, u=φ(x) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f’(x)dx y=f(u), u=φ(x)– непрерыв, диф-я dy=f’(x)du dF(u)=F’(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d(∫f(x)dx)=f(x)dx - Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ∫[f(x)±g(x)]dx= ∫f(x)dx±∫g(x)dx –неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ий в отдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразные для ф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= F_x’[φ(t)]φ’(t) =f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C,Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, => получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt.

Дарбу: M_n=sup (f(x)); m_n=inf (f(x)), xÎ(x_i-1; x_i) S_ρ=å M_n∆x_{i –} верхний; S_ρ=å m_n∆x_i- нижний; СВ-ВА:

1, "верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек 0=< S_ρ-I<e -для верх и ниж - Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x) è u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. è, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv,u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям: d(uv)=udv+vdu;∫d(uv)= ∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 +…+ a₁x¹+a_0, n – натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)^k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а – действит корень кратности k знамен-ля Q_n(x) прав-ой рацион дроби, т.е. Q_n(x)=(х-а)^kÕ_n-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: P_m(x)/Q_n(x)=A/(х-а)^k+Rs(x)/(х-а)^k-1Õ_n-k(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x)=[A Õ_n-k(x)+ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^kÕ_n-k(x)]=[ A Õ_n-k(x)]/ [(х-а)^kÕ_n-k(x)]+[ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^kÕ_n-k(x)]=A/(х-а)^k+[P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^kÕ_n-k(x)], для каждого А. х=а – корень ура-я P_m(x)- A Õ_n-k(x)=0; P_m(а)- A Õ_n-k(а)=0; P_m(а)≠0 и A Õ_n-k(а)≠0; A= P_m(а)/A Õ_n-k(а); P_m(x)- A Õ_n-k(x)=(x-a) Rs(x); P_m(x)/Q_n(x)= A/(х-а)^k+[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õ_n-k(x)]= A/(х-а)^k+ Rs(x)/[(х-а)^k-1 Õ_n-k(x)]; A= P_m(а)/Õ_n-1(а).

14. Если Q_n(x)= (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x), где p²-4q<0, Т_n-µ(x) мн-ен не делится на x²+px+q, то правильную рацион дробь P_m(x)/Q_n(x) можно представить в виде суммы 2 правильных: P_m(x)/Q_n(x) =(Mx+N)/ (x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1. Т_n-µ(x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x) =[(Mx+N) Т_n-µ(x)+ P_m(x)-(Mx+N) Т_n-µ(x)]//(x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]= (Mx+N)/(x²+px+q)^µ+ [P_m(x)-(Mx +N) Т_n-µ(x)]/[ (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)] для люб µ и N. x²+px+q=0, D<0, x₁₂=α±iβ, µ и N: P_m (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*T_n-µ(α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ P_m (α+iβ)] /[ T_n-µ(α+iβ)]=k+il. Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b) µb=L=> m=L/b P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)] конечному пределу при ранге разбиения à 0.

15. Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)^r(x-b)^s…(x²+2px+q)^t(x²+2ux+v)^z…, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)²+…. An/(x-a)ⁿ+…. (M1x+N1) / (x²+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x²+2px+q)²+…+(Mkx+Nk)/(x²+2px+q)^k+, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа

16. Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 ++ a₁x¹+a_0, n – натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов: f(x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1)A/(x-a) 2)A/(x-a)^k k>=2 целое

3)(Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

Похожие работы

Основные понятия системного анализа

Скачать

18316

0

0

... некая иерархическая структура. Третья идея ССА широкое использование графических нотаций, что облегчает понимание сложных систем. В результате можно дать следующее определение ССА: структурным системным анализом называется метод исследования, проектирования и описания сложных систем в виде иерархии "черных ящиков" с помощью графических средств. Другие принципы ССА Методология ССА строится ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл

Скачать

18290

1

4

... Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b]. В этом состоит механический смысл определенного интеграла. Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t): ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...