Применение теории массового обслуживания в экономическом анализе

2 Применение теории массового обслуживания в экономическом анализе

2.1 Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания – вероятностные модели реальных систем обслуживания населения, при которых время обслуживания будет минимальным, а качество – высоким, не будет излишних затрат.

Теория массового обслуживания впервые применялась в телефонии, а потом и в других областях хозяйственной деятельности.[4]

Пик своего развития теория массового обслуживания достигла в 50-70-е годы. Затем интерес к теории массового обслуживания несколько ослабел. Это было связано с несколькими причинами, например, математической. Однако в последнее время снова возродился интерес к задачам теории массового обслуживания, обусловленный не только новыми проблемами, возникшими в практической жизни и особенно в областях, связанных с разработкой и применением вычислительной техники, но и новыми математическими подходами к их решению.

Организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количество предприятий данного торгового профиля, численность продавцов в них, наличие соответствующих основных фондов, частота завоза товаров, численность обслуживаемого населения, плотность обращаемости и потребности в соответствующих основных фондов, частоты завозов товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах. Организации торгового обслуживания населения нужно выбрать такой оптимальный вариант, при котором время обслуживания будет минимальным, качество – высоким, не будет излишних хозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи.

Различают две формы обслуживания: с неявными потерями и с явными потерями.

Теория массового обслуживания представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей производительности технических устройств или систем массового обслуживания, предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок.

При наличии одного канала обслуживания система массового обслуживания называется одноканальной, если их несколько – многоканальной. Если источники заявок включены в систему, она называется замкнутой, иначе – разомкнутой. Если несколько систем соединены последовательно, токам образом, что заявки, удовлетворенные в одной системе, переходят к следующей, возникает многофазная система массового обслуживания.

В одноканальной пуассоновской системе с пуассоновским входящим потоком и бесконечным источником требований учитываются: средняя частота поступления требований – А; средняя пропускная способность канала обслуживания - S.

Модель включает характеристики и уравнения:

1.         коэффициент использования системы: A/S;

2.         среднее число клиентов в системе: A/(S-A);

3.         среднее число машин, ожидавших в очереди: A2/[S*(S-A)];

4.         среднее время нахождения клиента в системе:1/(S-A);

5.         среднее время состояния в очереди: А/[S*(S-A)]; удельный вес простоев: 1-A/S.

Система обслуживания с ограничением по длине очереди чаще встречается в практике, чем простейшие системы с неограниченным размером очереди или временем ожидания. Пропускная способность систем с ограничением длины очереди определяется:

q=1-(λn/n!)*(λ/n)n/{[∑nk=0(λk/k!)]+[(λn/n!) * ∑mc=1(λk/k!)c]}, где

q-вероятность обслуживания – доля обслуживаемых заявок;

λ-приведенная плотность потока заявок – коэффициент использования системы, λ=A/S;

n – число потоков обслуживания;

m – максимальная длина очереди;

k и с – немые индексы.

Доля времени простоев определяется так:

Р=1/{[∑nk=0(λk/k!)]+[(λn/n!) * ∑mc=1(λk/k!)c]}.

Исполнение заявки в системе продолжается некоторое случайное время, после чего освободившийся канал вновь готов к приему заявки. Если в системе допускается формирование очереди заявок, поступивших в моменты, когда все каналы заняты, они становятся в очередь и ожидают освобождения занятых каналов.

В зависимости от допустимости и характера формирования очереди различают системы обслуживания с отказами, с неограниченной очередью и смешанного типа.

Система с отказом имеет место, если формирование очереди не разрешено. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не будет удовлетворена.

Система массового обслуживания с неограниченной очередью представляет собой структуру, где разрешается очередь неограниченной длины. В такой системе поступившие заявки будут обслужены, хотя время ожидания может оказаться довольно продолжительным.

В системе массового обслуживания смешанного типа возможны различные ограничения, например, на максимальную длину очереди, время пребывания заявка в очереди и т.д. в системе с ограниченной очередью заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обязательно обслуживается. В системе массового обслуживания с ограниченным временем пребывания в очереди заявка становится в очередь и ожидает некоторое случайное время. Если она за это время не попадает на канал обслуживания, то покидает очередь. Такой вариант обслуживания применяется для моделирования входного контроля заголовок и имитации брака на операциях по обработке деталей.

Работа в перечисленных системах обслуживания осложняется тем, что заявки поступают не регулярно, а через случайные промежутки. Это приводит к тому, что в отдельные интервалы времени система действует с перегрузкой, а в другие – недогружена или даже полностью простаивает.

Основная задача теории массового обслуживания – выявить зависимость показателей эффективности системы от характера входящего потока, дисциплины и ограничения очереди, количества, производительности и условий функционирования каналов с целью последующей ее оптимизации. В качестве критерия оптимальности применяют максимум прибыли от эксплуатации системы; минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов; минимум заявок в очереди и уходов не обслуженных заявок; заданную пропускную способность и т.п. в качестве варьируемых переменных обычно фигурируют количество каналов, их производительность, организация работы в одноканальном или многоканальном режиме, условия взаимопомощи между каналами, дисциплина очереди, приоритетность обслуживания и др.

Основными элементами системы массового обслуживания являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания, выходящий поток. Многие понятия теории массового обслуживания можно проиллюстрировать на одном важном примере: взлет и посадка самолетов в крупном аэропорту - операция, представляющая интерес для многих людей, пользующихся этим видом транспорта.

Допустим, что аэропорт имеет несколько взлетно-посадочных (параллельных каналов). Эти полосы ведут к большему или меньшему числу дорожек, оканчивающихся на аэровокзале (последовательные каналы). После того как самолет, прибывший в соответствии с определенным распределением входящего потока, приземляется, он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих обслуживания (продвижение по дорожке к месту выгрузки). Таким образом, выходящий поток одной очереди становится входящим потоком для другой. Очередь существует как на земле (взлет самолетов), так и в воздухе (посадка самолетов). Обе эти очереди имеют свое распределение входящего потока. Приземляющиеся самолеты могут прибывать группами, при этом члены каждой группы должны кружить над аэропортом и приземлятся по порядку. (Если полоса очень широкая, то нетрудно представить посадку самолетов группами.) Длительность операций обслуживания (время приземления или взлета) около минуты. В любом случае имеется некоторое распределение времени обслуживания. Если для различных типов самолетов отведены различные взлетно-посадочные полосы, которые могут быть длиннее, например, для реактивных самолетов, то распределение времени обслуживания может меняться от одной полосы к другой.

При выборе самолетов для посадки важно определить соответствующий показатель эффективности. Например, если желательно минимизировать общее время ожидания пассажиров, то вначале нужно производить посадку самолетов с большим количеством людей.

Здесь же часто производится обслуживание с приоритетом, когда разрешается посадка снижающемуся самолету раньше, чем взлет ожидающемуся. Эта система с приоритетом распространяется также на случай аварийной обстановки, когда вследствие крайней необходимости разрешается посадить первым самолет, прибывший позже. Нередко приоритет на посадку дается реактивным самолетам из-за ограниченного запаса топлива.

Иногда порядок обслуживания таков, что прибывающий самолет присоединяется к очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, а затем выбор самолета на посадку производится случайным образом (одна из форм обслуживания с приоритетом). Так, например, если самолет находится ближе других к точке, в которой он может выйти из зоны ожидания, то ему будет дана команда на посадку. В промежутке времени между получением приоритета на посадку и командой "посадку разрешаю" самолет выходит из эшелона и направляется к аэродрому. Это время известно как захода на посадку. Время приземления затрачивается на операцию посадки и продолжается до того момента, когда самолет сворачивает с взлетно-посадочной полосы.

Самолет, ожидающий посадки, может, находится в положении, близком к критическому (в это время другие самолеты будут действительно в критическом положении), он может принять решение присоединится к более короткой очереди в ближайшем аэропорту и приземлится там. Прибывающий самолет может не выстраиваться в эшелон, а уходить в другой аэропорт (отказ становится в очередь). В этом случае говорят, что аэропорт "потерял" этот самолет. Случается, что самолет отправляется в соседний аэропорт после того, как, присоединившись к очереди, он прождал больше, чем предполагалось (по кидание очереди до начала обслуживания). Можно рассматривать приземляющийся самолет участвующим в цикле, если он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается во входной поток системы. Если приземляющийся самолет имеет информацию о размерах очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки в соседнем аэропорту, то он может присоединится к этой очереди. Если у него есть информация еще об одном аэропорте, то он может отправится и туда (редкий случай). Это движение туда и обратно при наличии нескольких очередей называется переходом из одной очереди в другую (возможность выбора очереди).

Аэропорт может временно закрываться, и прибывший самолет будет вынужден отправится в другой аэропорт, если число эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, достигнет заданной величины. Операция обслуживания может быть ускорена путем оборудования специальных гасителей скорости, которые позволяют самолетам приземлятся на главной полосе с большой скоростью.

Основной проблемой при управлении аэропортом является связь. Если входящий поток как на земле, так и в воздухе велик, то аэропорт должен быстро связываться с самолетами и получать ответ. При организации связи важной проблемой является определение числа операторов и каналов связи, необходимых для регулирования различных состояний перегруженности, которые могут возникнуть. В данном случае необходимо выбрать оптимальное число каналов для обслуживания требований, поступающих в соответствии с данным распределением. Можно произвести сравнение стоимость дополнительного канала со стоимостью возросшего объема обслуживания существующими каналами.

Важной проблемой является наличие соответствующего места для ожидания в очереди. Например, при проектировании аэропорта существенным моментом является наличие наземной рулежной дорожки для самолетов, готовых к влету.

Во многих задачах теории массового обслуживания для определения необходимого показателя эффективности достаточно знать распределение входящего потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и распределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь дополнительную информацию. Например, в случае отказов в обслуживании нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т.е. покинет очередь до или после присоединения к ней.

С теоретической точки зрения очередь можно рассматривать как потоки, походящие через систему пунктов обслуживания, соединенных последовательно или параллельно. На поток оказывают влияние различные факторы; они могут замедлять его, приводить к насыщению и т.д.

Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/¥/¥): в модели (M/M/1):(GD/¥/¥) имеется единственный узел обслуживания (обслуживающий прибор), а на вместимость блока ожидания и емкость источника требований никаких ограничений не накладывается. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами l и m соответственно.

Прежде всего получим уравнение в конечных разностях для рn(t), т.е. для вероятности того, что в интервале времени t в системе находится n требований (клиентов). После этого при надлежащих условиях перейдем к пределам пи t®¥ и получим формулу для рn, соответстветствующих сиационарному режиму исследуемого процесса.

Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/N/¥): разница между моделью типа (M/M/1):(GD/N/¥) и моделью типа (M/M/1):(GD/¥/¥) заключается только в том, что требований, допускаемых в блок ожидания обслуживающей системы, равняется N. Это означает, что при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не может присоединяться к очереди в блоке ожидания. В результате эффективная частота поступлений требований lЭФФ для системы указанного типа становятся меньше частоты l, с которой заявки на обслуживание генерируются соответствующим источником.

Дифференциально-разностные уравнения как для n=0, так и 0<n<N

имеют

Система массового обслуживания типа (M/M/c):(GD/¥/¥): процесс массового обслуживания, описываемый моделью (M/M/c):(GD/¥/¥), характеризуется интенсивностью входного потока l и тем обстоятельством, что параллельно обслуживаются может не более с клиентов. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равняется 1/m. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Конечная цель использования с параллельно включенных обслуживающих приборов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно с клиентов. Таким образом, если n=c, то интенсивность входного (выходного) потока равняетсясm. С другой стороны, если n<c, то интенсивность входного (выходного) потока равняется nm<cm (поскольку при этом занятыми обслуживанием окажутся не все обслуживающие приборы, а лишь n(<c) приборов). По существу, использование нескольких обслуживающих приборов эквивалентно использованию одного обслуживающего прибора, быстродействие которого варьируется, увеличиваясь при наличии в системе n требований ровно в n раз.

Таким образом, для анализа модели (M/M/c) требуется построить обобщенную одноканальную модель, в которой как интенсивность входного потока, так и скорость обслуживания зависели бы от n, так что вместо безиндексных параметров l и m нужно было бы использовать величины ln и mn. Нужно вывести формулу для вычисления стационарных значений значений р n. Полагая ln =l, а m n =nm при n<c или m n =сm при n³c, можно получить числовые оценки для функциональных характеристик системы, описываемой (М/М/с)- моделью. При заданных значениях ln и m n после нахождения значения р n окажется также возможным получить результаты для СМО других типов.

Для краткого обозначения систем массового обслуживания и выбора математических методов операционных характеристик эффективности применяются трех- и четырехкодовые шифры. Трехкодовой шифр имеет вид (λ/μ/n). Первый элемент указывает на тип распределения входящего потока требований, второй – на время обслуживания, третий – на число каналов обслуживания. В четырехкодовом шифре четвертый элемент обозначает характер очереди. Например, код (λ/μ/n/m) отражает, что в очереди может быть не более m требований.

На практике чаще всего приходится иметь дело с входящими потоками требований, для которых моменты наступления событий и промежутки времени между ними случайны. В таком случае поток требований может описываться произвольной функцией распределения случайной величины.

Наиболее просто описываются системы с простейшим потоком требований, то есть удовлетворяющим свойствам стационарности, ординарности и отсутствия последствий. Свойством стационарности обладает поток, у которого вероятность поступления зависит только от длины промежутка. Это значит, что параметры закона распределения потока требований не изменяются со временем. Потом обладает свойством ординарности, если вероятность поступления на малом участие ∆t двух или более требований очень мала по сравнению с вероятностью поступления одного требования. Другими словами, если Р>1(∆t) – вероятность поступления в течение промежутка времени ∆t более одного требования, то Р>1(∆t)=О(∆t), где О(∆t) – очень малая величина по сравнению с ∆t. В результате требования приходят по одному.

Отсутствие последствия состоит в том, что число требований, поступивших в систему после некоторого промежутка времени, не зависит от того, сколько их пришло до этого момента. Доказано, что поток требований можно считать простейшим, если он получен суммированием достаточно большого числа не зависящих друг от друга потоков, влияние каждого из которых на сумму равномерно малое, и что простейшим их поток описывается пуассоновским законом распределения:

Рк(t)=λtk/k!*l-λt, где

Рk(t) - вероятность того, что за произвольно выбранный период времени t поступит k требований;

l – математическое ожидание случайной величины;

λ – плотность входящего потока, то есть среднее число требований в единицу времени.

Важным показателем процесса обслуживания считается время, под которым понимается интервал между момент поступления требования в канал и моментом его выхода из канала. Время может изменяться, что объясняется неполной идентичностью приходящих требований, состоянием требований, состоянием и возможностью обслуживающих устройств. Время обслуживания в большинстве систем следует рассматривать как случайную величину. В экономических процессах оно, чаще всего, распределено по показательному закону:

f(t)=μ*l-μt, где

μ- среднее число требований, обслуженных в единицу времени.

Тогда средняя продолжительность обслуживания будет равна:

tобсл.=∫∞0t*f(t)dt=∫∞0t* μ* l-μtdt=1/μ,

таким образом, задав систему массового обслуживания с помощью трех (λ/μ/n) или четырех (λ/μ/n/m) шифров, можно установить основные операционные показатели, характеризующие эффективность работы той или иной системы. В частности, среднее число простаивающих каналов, коэффициент загрузки каналов, средний процент обслуживаемых заявок, среднее время ожидания в очереди, среднее время пребывания заявки в системе обслуживания, среднюю длину очереди, средний доход в единицу времени и т.д.