Сущность франчайзинга

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗВИТИЯ ФРАНЧАЙЗИНГОВОЙ СИСТЕМЫ

Рудашевский В.Д., Фурщик М.А.

ФРАНЧАЙЗИНГ КАК ФОРМА СТРАТЕГИЧЕСКОГО АЛЬЯНСА

 

Два последних десятилетия отмечены бурным ростом франчайзинговых систем во всем мире. В 1990 г. их доля в совокупных продажах в США и в Европе достигла 30% и 10% соответственно и продолжает увеличиваться (особенно, в Европе). Сегодня насчитывается более 60 категорий бизнеса, где используется франчайзинг (рестораны, гостиницы, страхование, образование, здравоохранение, аудит, строительство и т.д.). В чем же секрет успеха этой институциональной структуры?

Франчайзинг (franchising) — это форма стратегического альянса, которая позволяет головной фирме расти быстрее и с меньшими капитальными затратами, чем при традиционных способах организации бизнеса. В то же время предприниматель, присоединяющийся к такой системе, снижает свой риск. Через 5 лет после начала своей деятельности продолжают функционировать 92% участников франчайзинговых систем и только 23% независимых предприятий [1].

По определению Британской франчайзинговой ассоциации (British Franchising Association):

Франшиза (franchise) — контрольная лицензия, выданная одним лицом (франчайзером) другому (франчайзи), которая:

a)  дает разрешение и обязывает франчайзи заниматься в течение периода франшизы определенным бизнесом, используя специфическое наименование, принадлежащие франчайзеру или ассоциирующиеся с ним;

b)  позволяет франчайзеру осуществлять контроль в течение всего периода франшизы за качеством ведения бизнеса, являющегося предметом франчайзингового договора;

c)  обязывает франчайзера предоставлять франчайзи помощь в бизнесе, который служит предметом франшизы (в отношении организации предприятия франчайзи, обучения персонала, управления продажами и т.д.);

d)  требует от франчайзи регулярно в течение всего периода франшизы выплачивать франчайзеру определенные денежные суммы в оплату франшизы или товаров, услуг, предоставляемых франчайзером франчайзи;

e)  не является обычной сделкой между холдинговой и ее дочерней компаниями, или между дочерними компаниями одной холдинговой компании, либо между физическим лицом и контролируемой им компанией.

Таким образом, франчайзер (franchisor) — это организатор дела, владелец генеральной лицензии, ноу-хау, главный консультант и оптовый поставщик, франчайзи (franchisee) — предприниматель, чья текущая деятельность самостоятельна, но чье предприятие является частью единого комплекса, а франчайзинг — способ ведения бизнеса, основанный на выдаче независимым предпринимателям франшиз (заключении франчайзинговых договоров с головной компанией).

Часто франшизой называют и саму сеть предприятий, связанных с головной компанией сходными франчайзинговыми договорами, использующие одинаковые торговую марку, стиль, условия, методы и формы продаж товаров или оказания услуг.

Большинство франчайзинговых систем проходят сходные этапы развития. В начале своей деятельности франчайзер часто (но не всегда!) обладает технологической уникальностью, которая уменьшается с развитием конкуренции, неизбежно возникающей в случае его первоначального успеха. Затем создается система организации бизнеса, маркетинговая и административная системы, играющие в дальнейшем ключевую роль в преуспевании франшизы. В ходе деятельности системы происходит ее постепенное признание, возрастает узнаваемость торгового имени. Случайные скачки технологии дают лишь временный эффект и в долгосрочном плане имеют обычно меньшее значение, чем организационные достижения.

Источниками доходов франчайзера являются:

·   собственные торговые точки (предприятия);

·   наценка на поставленные товары (материалы);

·   скидки оптовых поставщиков;

·   вступительные взносы новых франчайзи;

·   роялти (фиксированные постоянные платежи или платежи как процент от выручки или прибыли);

·   премия за подбор помещений и оборудования для франчайзи;

·   сдача в аренду франчайзи зданий и оборудования;

·   процент за кредит, предоставляемый участникам франчайзинговой системы;

·   плата за управленческие, консультационные услуги;

·   маркетинговые взносы франчайзи.

Иногда в целях повышения привлекательности франшизы франчайзер сам организует торговую точку, убеждается в ее доходности и предлагает ее франчайзи. Часто используется и противоположный вариант, когда после определенного роста франчайзер выкупает обратно часть франшиз для увеличения доходов или контроля над рынком. Эти возможности свидетельствуют о большой гибкости франчайзинговой стратегии.

Франчайзинг особенно подходит, когда территориально удаленные торговые точки обслуживают небольшие локальные рынки, предлагая товар, который требует внимания при совершении сделки. В целом, можно сказать, что франчайзинг — это метод отпочкования успешно функционирующих малых предприятий путем копирования схемы организации бизнеса, основанной на опыте процветающих фирм.

В России имеются прекрасные возможности для быстрого развития франчайзинга. Огромный рынок испытывает недостаток в современных технологиях (особенно, в сфере услуг), а потенциал малого бизнеса не может быть полностью реализован без широкого использования франчайзинговых систем, снижающих предпринимательский риск.

Можно провести следующую классификацию систем по типу франчайзинговой стратегии [2]:

1)  Торговый франчайзинг (product tradename franchising) — франчайзи продает товар франчайзера, работая под его торговой маркой (например, Coca-Cola). В 1990 г. продажи таких систем в США составили 503 млрд. долларов — приблизительно 70% франчайзинговых продаж.

2)  Франчайзинг бизнес-формата (business format franchising; "package franchise") — единые торговая марка, принадлежащая франчайзеру, методы работы; франчайзер осуществляет текущую поддержку, консультирует и обучает франчайзи (например, McDonald's). Объем продаж франчайзинговых систем бизнес-формата в США в 1990 г. — 213 млрд. долларов, количество франчайзи — 393 000 предприятий.

3)  Конверсионный франчайзинг (conversion franchising) — превращение действующего предприятия в члена франчайзинговой системы без радикального изменения методов работы с целью выживания в условиях сильной конкуренции, благодаря марке франчайзера, улучшению услуг и снижению издержек (например, Holiday Inns за несколько лет создал огромную сеть гостиниц, каждая из которых обладает своим уникальным обликом).

При создании франчайзинговой системы ее тип определяется исходя из рыночной ситуации, вида деятельности и стратегической цели фирмы. Например, на быстрорастущем рынке фирме с сильной конкурентной позицией целесообразнее всего использовать торговый франчайзинг, создавая дилерскую сеть, но сохраняя при этом жесткий контроль над рынком.

Если при ведении бизнеса очень важным является соблюдение технологии и единых методов работы всеми участниками сети, то лучше создавать франчайзинговую систему бизнес-формата.

На фрагментированных рынках, где работают много мелких и средних фирм, которым нет большого смысла сливаться (нет экономии на масштабах, обслуживаются небольшие изолированные местные рынки), можно эффективно использовать бизнес-формат или конверсионный франчайзинг, при которых в значительной степени сохраняется независимость предприятия.

Рост франчайзинговых систем зачастую сопровождается их энергичным проникновением на внешний рынок. Создание транснациональных систем позволяет избежать высоких транспортных расходов, таможенных тарифов, квот. При такой организации бизнеса издержки существенно меньше, чем при прямом участии.

Создание франчайзинговых торговых или производственных предприятий является также хорошим методом тестирования рынка перед осуществлением крупных вложений. Франчайзинг позволяет резко снизить финансовый и политический риск фирмы, начинающей работать в незнакомой стране.

Все эти преимущества особенно важны при организации бизнеса в России из-за ее огромной территории, высоких таможенных пошлин и политической нестабильности. Кроме того, компании, создающей в России сеть франчайзи-производителей, гораздо легче заручиться поддержкой региональных властей, чем иностранной фирме, торгующей готовой продукцией. А такая поддержка имеет большое значение.

Очень полезным может быть опыт франчайзи, знакомых с местным, зачастую весьма специфическим рынком. Франчайзинг позволяет фирме развиваться более полицентрично (а не этноцентрично), что вызывает большее доверие у потребителей, дает возможность лучше учитывать их запросы и обеспечивает большую устойчивость системы.

В целом, фирме необходимо адаптироваться к местному рынку, не теряя тех качеств, которые ранее позволили ей достичь успехов.

Существует несколько моделей, объясняющих природу франчайзинга.

1. В модели разделения риска ([3] и [4]) обе стороны считаются избегающими риска, и они выигрывают при разделении риска с помощью франчайзинга.

2. В модели одностороннего морального риска ([3] и [5]) предполагается, что франчайзер не может постоянно отслеживать уровень спроса в регионе, а это дает возможность франчайзи обманывать его.

3. Идея модели двустороннего морального риска выдвинута в работе [6], а в [7] приведен более формальный анализ. В этой модели считается, что необходимы стимулы для хорошей работы обеих сторон. Так как роялти — компонента контракта, которая обеспечивает постоянную заинтересованность франчайзера в успехе франчайзи, то оно должно возрастать при большей важности поставок франчайзера франчайзи и усложнении контроля за действиями франчайзера. С течением времени успех все больше зависит от производительности франчайзи, поэтому роялти должно со временем снижаться. В части морального риска франчайзера модель аналогична предыдущей.

4. В модели несовершенства рынка капитала [8] предполагается, что франчайзер ограничен в капитале и преодолевает эти трудности, привлекая средства франчайзи.

При таком объяснении возникают некоторые проблемы:

·   франчайзеры часто финансируют своих франчайзи;

·   в [6] было показано, что инвестиции в единственную точку более рискованны, чем в портфель акций всей сети, поэтому франчайзи должен требовать больший доход, а, следовательно, франчайзер может получить более дешевый капитал, предлагая свои акции менеджерам отделений.

Таким образом, сами по себе аргументы недостаточности капитала не объясняют франчайзинг. Но в сочетании с побудительными мотивами при такой организации бизнеса они имеют значительно больше смысла, так как с портфеля акций каждый региональный менеджер получает только незначительную часть результатов своих усилий, поэтому он будет работать хуже или будет требовать большей доходности по акциям, а это может привести к смене руководства компании или отказу наиболее квалифицированных менеджеров от работы в ней.

5. Согласно сигнальному объяснению франчайзинга, предложенному в [9], франчайзеры обладают информацией о ценности своих франшиз и пытаются передать ее потенциальным франчайзи. В промежуточном состоянии равновесия становится явным разделение франчайзеров на две категории. Лучшие франчайзеры успешно передают потенциальным франчайзи информацию о своем высоком качестве, выбирая контракт с большим роялти и/или управляя многими точками сами. Низкокачественные франчайзеры устанавливают почти нулевой роялти и не имеют собственных точек. Со временем, когда тип франчайзера становится известным, высококачественные франчайзеры хотят вернуться к наилучшему для них контракту, снижая роялти и увеличивая долю франчайзинговых точек в системе. В работе [10] утверждается, что статистические данные не подтверждают эту теорию.

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ФРАНЧАЙЗИНГОВОГО ДОГОВОРА

Рассмотрим одну пару: франчайзер—франчайзи. Предположим, что известны функции затрат и доходов, а стороны нейтральны к риску.

Франчайзи выбирает выпуск Q в соответствии со спросом D(p), где p — цена производимой продукции (услуг), то есть Q = D(p). Отсюда p = p(Q). Доход от продаж

X(Q) º p(Q)Q.

Пусть X, C и K — доход, издержки франчайзи и переменные затраты франчайзера в первый год действия контракта, а в n-ый год — за счет роста цен

X_n(Q) = (1 + u)^n-1X(Q), C_n(Q) = (1 + u)^n-1C(Q), K_n(Q) = (1 + u)^n-1K(Q).

Аналогично предыдущему пункту доход

X(Q) º p(Q)Q,

где p(Q) определяется из условия Q = D(p). Имеет смысл ставить задачу максимизиции средней годовой прибыли за весь срок действия договора L. Поэтому задача франчайзи:

p₁(r, F, L, Q) º ( (1–d)^n–1 {(1 + u)^n-1 [(1 – r) X(Q) – C(Q)] – q_n H(L)} – F – W) ® maxQ

где d — коэффициент дисконтирования.

Если (1 + u)(1 – d) » 1, то можно считать, что франчайзи решает задачу:

p₁(r, F, L, Q) º (1 – r) X(Q) – C(Q) – ( q_n(1–d)^n–1 H(L) – F – W) ® maxQ

Как и в предыдущем пункте получаем оптимальный выпуск Q* = Q*(r) и делаем замену

x(r) = X(Q*(r)), c(r) = C(Q*(r)), k(r) = K(Q*(r)).

Предположим, что затраты франчайзера на поиск (замену) франчайзи обратно пропорционально количеству предпринимателей, готовых, в принципе, заключить какой-либо франчайзинговый договор. Это количество выясняется в ходе опроса франчайзи и независимых предпринимателей и задается функцией T(L). Очевидно, что вблизи нуля T(L) мала, потому что потенциальные франчайзи не склонны так сильно изменять свою деятельность на основании краткосрочного договора, который без пролонгации не обеспечит окупаемость. Функция T(L) равна нулю при больших L, так как у людей нет желания жестко связывать себя обязательствами на очень длительное время, не будучи твердо уверенными в успешной работе франчайзингового предприятия.

Коэффициент пропорциональности M определяется либо из практики франчайзера, либо из статистических данных о франчайзинговых системах, занимающихся аналогичной деятельностью.

Таким образом, франчайзер максимизирует свою среднюю годовую прибыль:

(1) p₂ (r, F, L) º r x(r) – k(r) + (F – S + q_n[(1–d)^n–1H(L) –] – ) ® max r,F,L

Франчайзер стремится установить H(L) – = 0, то есть не стремится извлечь выгоду от смены франчайзи.

Аналогично ограничениям (4) и (6) из предыдущего пункта условия защиты от оппортунизма

(2) g L c(r) – f₁ (S – F) ³ 0,

(3) h L k(r) – f₂ (aW + F) ³ 0

Условие неубыточной деятельности франчайзи:

(4) L [(1–r) x(r) – c(r)] – F – W – q_n(1–d)^n–1H(L) ³ 0

Аналогично предыдущему пункту из-за конкуренции потенциальных франчайзи это неравенство обращается в равенство, следовательно, вступительный взнос

(5) F(r,L) = L [(1–r) x(r) – c(r)] – W – q_n (1–d)^n–1H(L)

Если считать, что q_n = q, то (1) и (5) преобразуются к виду

(1') p₂(r, F, L) º r x(r) – k(r) + (F – S + q[ H –] – ) ® maxr,F,L

(5') F(r,L) = L [(1–r) x(r) – c(r)] – W – q H(L)

Если контракт составлен достаточно жестко (f₁ » 0 и f₂ » 0), то ограничения (2) и (3) не являются активными, и их можно не учитывать. То есть переходим к задаче (1), (5).

При подстановке (5) в (1) получаем

(6) [x(r) – k(r) – c(r)] – [S + W + (1 +q_n) ] ® max r, L

Таким образом, исходная задача распадается на две задачи:

(7) x(r) – k(r) – c(r) ® max

(8) [S + W + (1 +q_n ) ] ® min ^L

Так как целевая функция в (7) является в реальности вогнутой, то оптимальное значение коэффициента роялти r* находится из уравнения

(9) x'(r) – k'(r) – c'(r) = 0

Функция T(L), а, значит, и целевая функция в (8), определена лишь на дискретном множестве значений L, причем T(L) ¹ 0 только на ограниченном множестве. Поэтому минимум функции (8) находится на этом ограниченном множестве подстановкой.

Для найденных оптимальных значений коэффициента роялти r* и срока контракта L* вычисляем по формуле (5) или (5') оптимальный вступительный взнос

F* = F(r*, L*).

В подавляющем большинстве случаев проводить исследования рынка и решать задачу оптимизации для каждой территории, на которую предоставляется франшиза, слишком дорого. Но использование контрактов с одинаковыми параметрами тоже неэффективно, так как не учитываются существенные особенности, в том числе и размер территории.

Чтобы избежать произвола, злоупотреблений и неопределенности при определении параметров конкретного договора, необходимо выработать четкие критерии их назначения. Формулы, по которым вычисляются эти параметры, должны содержать общедоступные статистические данные и стандартные для данной компании константы. Желательно, чтобы смысл этих формул был понятен потенциальным франчайзи.

Необходимо провести исследование рынка на какой-то достаточно типичной территории и, решив оптимизационную задачу, установить для нее наилучшие значения выпуска франчайзи Q⁰, срока контракта L⁰, вступительного взноса F⁰ и коэффициента роялти r⁰.

Тогда параметры контракта для произвольной территории рассчитываются следующим образом.

Длительность контракта принимается та же, так как можно приблизительно считать, что все слагаемые в целевой функции, при максимизации которой определяется оптимальный срок, возрастают пропорционально емкости территориального рынка, что не влияет на L*, поэтому

(10) L* = L⁰

Величина наилучшего выпуска Q* считается пропорциональной емкости рынка V, которая вычисляется по формуле

V = b

где b — коэффициент пропорциональности, m_i — относительная склонность (в расчете на человека) i-ой категории потребителей к покупке данного товара (услуги). Например, туристы, как правило, не покупают жалюзи, зато они потребляют относительно много fast food в расчете на одного человека. Удобно выделить следующие категории потребителей: местное население, туристы и люди, приезжающие на данную территорию на работу. Коэффициенты m_i считаются едиными для всей франшизы. Y_i и N_i — среднедушевой доход и общая численность потребителей i-ой категории соответственно, которые берутся из общедоступных статистических данных. Значит,

(11)

где Y_i⁰ и N_i⁰ — среднедушевой доход и общая численность потребителей i-ой категории на базовой территории.

Вступительный взнос считается пропорциональным оптимальному выпуску:

(12)

Так как роялти рассчитывается как процент от оборота, то коэффициент r должен быть единым для всей сети. Но франчайзи часто сообщают преуменьшенные данные о своих доходах, чтобы снизить платежи франчайзеру, а прямые проверки слишком дороги. Поэтому франчайзеру имеет смысл подтолкнуть франчайзи к декларированию истинных объемов производства (продаж) с помощью договора, предусмотрев увеличение коэффициента роялти при сообщении об уровне доходов, меньшем оптимального, то есть

(13)

где a > 1 является общим для всей франчайзинговой сети.

Пусть e — средняя относительная величина обманов, выявленных при предыдущих проверках в системе. Тогда имеет смысл определить a из условия a (1 – e) = 1, то есть сделать традиционный обман невыгодным, а обман в более крупных размерах будет слишком очевидным для франчайзера, и он, наверняка, устроит в такой точке проверку.

 

СТРАТЕГИЯ РАЗВИТИЯ ФРАНЧАЙЗИНГОВОЙ СИСТЕМЫ

 

После определения оптимальных параметров функционирования отдельных франчайзинговых предприятий можно перейти к рассмотрению франчайзинговой системы в целом.

Предположим, что весь рынок разбит на N территориальных участков, на каждом из которых может работать не более одного предприятия (собственного или франчайзингового) данной системы. I^c_n(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент времени t на n-ом участке функционирует собственное предприятие франчайзера, в других случаях эта функция равна нулю; I^Ф_n(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент t на n-ом участке работает франчайзинговое предприятие этой системы, иначе она равна нулю.

Пусть p^С_n(t) и p^Ф_n(t) — оптимальные размеры прибыли, которую может получить на n-ом участке в момент t собственное предприятие, и дохода франчайзингового предприятия соответственно, а r — оптимальное роялти. Эти величины определяются способами, описанными в предыдущих разделах.

Функции a(t) и w(t) определяют расходы на рекламу и исследования.

L(t) — долг франчайзера, r₁ — процент по нему; D(t) — ликвидные средства франчайзера, а g — их доходность.

Пусть r(t) и q(t) — вероятности проверок и обмана соответственно, H₁ и H₂ — средние величины обмана и штрафа за вскрытый факт обмана; M — средняя стоимость мониторинга одной точки.

Параметры r₁, g, H₁, H₂ и M определяются вне модели.

Тогда, считая время дискретным, прибыль франчайзера в период t

(1)

где , функция Q(A_t,W_t) отражает влияние рекламы и исследований на размер прибыли элементов сети, а p_Tr — прибыль от изменения структуры франчайзинговой системы

(2)

где Z_n и E_n — невозвращаемые затраты при создании собственного и франчайзингового (с учетом вступительного взноса) предприятия, определяемые вне модели, P^s_n(t), P^B_n(t) — прибыль от продажи, покупки предприятия, а S_n, B_n, N^c_n, N^ф_n, L^c_n, L^ф_n — индикаторные функции, равные либо нулю, либо единице, отражающие продажу собственной точки во франчайзинг, выкуп франчайзы, создание новой собственной и франчайзинговой точек, ликвидацию собственной и франчайзинговой точек на n-ом участке. Так как цена предприятия равна сумме прибыли, которую может получить франчайзи за оставшееся время, и ликвидационной стоимости, то прибыль франчайзера от сделок (T — горизонт планирования)

(3)

Индикаторные функции выражаются из системы

(4)

Частота проверок, проводимых франчайзером, определяется из условия

u_p = r (qH₂ – M) – (1 –r) qH₁ ® max,r

а вероятность обмана франчайзи из условия

u_{a = –} rqH₂ + (1 – r) qH₁ ® max . q

 

Равновесие в этой игре достигается при

Интересно, что вероятность проверки r зависит только от отношения штрафа к величине обнаруженного проверкой обмана, которое определяется во франчайзинговом договоре, и не зависит от средней величины обманов. Предположим, что в договоре это отношение равно единице, тогда в (1) выражение в скобках во второй сумме равно u_p = –M/2. Тогда выражение (1) примет вид

(5)

Если D(t) – разность между получаемыми кредитами и возвратом долга, то задолженность изменяется по закону:

(6) L(t) = (1 + r₁) L(t-1) + D(t).

Считая, что франчайзер не дает деньги в долг, добавляем условие

(7) L ³ 0.

Баланс денежных потоков имеет следующий вид:

(8)

где X^C_n(t) и C_n(t) — доход и затраты собственного предприятия франчайзера, вычисляемые из приведенной в предыдущем разделе задачи оптимизации для конкретной собственной точки, а P^L_n — ликвидационная стоимость предприятия в конечный момент времени T.

Собственный капитал франчайзера

(9) K(t)=K(0)+.

Возможные планы франчайзера ограничиваются требованиями ликвидности и достаточности собственного капитала

(10) ,

где k_l » 0,2 — нормативный коэффициент ликвидности, а k_a » 0,6 — нормативный коэффициент автономии.

Франчайзер решает задачу максимизации своей прибыли, то есть, фактически, задачу:

(11) K(Y, T) ® max ,Y

где Y — набор переменных задачи (2) – (11), определяющий возможную стратегию развития франчайзинговой системы. Y*(T) = arg max K(Y, T) — оптимальная стратегия.

Из условий (2) – (9) все переменные, определяющие собственный капитал франчайзера в конечный момент времени, выражаются через I^c_n(t), I^ф_n(t), L(t), D(t), a(t) и w(t), где t = 1,...,T, и задача (11) решается при условиях (7), (10) и

(12) I^c_n(t) I^ф_n(t) = 0,

то есть невозможно существование на одном участке в один момент времени и собственного и франчайзингового предприятий.

В предположении, что франчайзер берет максимально возможный кредит и держит допустимый минимум ликвидных средств, так как у них низкая доходность, неравенства (10) заменяются на равенства, из которых находятся L(t) и D(t), и условие (7) неотрицательности L(t) опускается. При этом набор переменных, определяющих стратегию, уменьшается до Y‘ = { I^c_n(t), I^ф_n(t), a(t), w(t)}.

Но даже в этом случае из-за большой размерности задачи и сложности выражения некоторых переменных через основные задача остается слишком сложной, и такая модель позволяет только проиллюстрировать механизм функционирования франчайзинговой системы, поэтому ниже для конкретных расчетов производятся дальнейшие упрощения.

Например, при определении оптимальных рекламных затрат можно решать следующую задачу. Пусть x(t) — прибыль без учета расходов на рекламу, u(t) — затраты на рекламу (u(t) ³ 0 — управление в рассматриваемой задаче). Тогда прибыль p(t) = x(t) – u(t). Так как x(t) — это прибыль получаемая в момент t в отсутствие рекламы, то, зная поток прибыли в начальный момент без использования рекламы p₀, можно получить начальное значение x(0) = p₀.

В качестве критерия разумно взять дисконтированную прибыль за весь период планирования T, то есть

(13) ,

где n — коэффициент дисконтирования.

Предположим, что без рекламы поток прибыли экспоненциально уменьшается с коэффициентом затухания k. Так как предельный эффект от рекламы падает при увеличении затрат на нее, то эту зависимость можно аппроксимировать, например, степенной функцией bu^a (0 < a < 1). Коэффициенты b и a определяются по методу наименьших квадратов для имеющихся эмпирических данных или оцениваются экспертами. Следовательно, получаем соотношение

(14) .

Гамильтониан задачи (13), (14)

H(x,u,p,t) = (x-u)e^–nt + p(bu^a – kx).

Из уравнений Гамильтона получаем:

.

Решая это уравнение с учетом условия p(T) = 0, находим

(15) p(t) = [e^–nt – e^–k(T-t)+kt] / (k + n) .

По принципу максимума Понтрягина u(t) должна в каждой точке оптимальной траектории доставлять максимум функции Гамильтона, поэтому оптимальное управление находится из условия

– e ^–nt + apbu^a–1 = 0,

то есть

.

Используя формулу (15), получаем, что оптимальные затраты на рекламу равны

.

Видно, что затраты на рекламу со временем уменьшаются, обращаясь в нуль в конце периода планирования.

На рекламные расходы разумно наложить условие u(t) £ u_max(t), связанное с ограниченностью финансовых ресурсов. Тогда реальные затраты на рекламу будут определяться по правилу

u_опт(t) = min{u*(t), u_max(t)}.

В предельном случае, если планирование осуществляется на очень длительный период (при этом можно считать

T = ¥), u_опт(t) º .

В этом случае

x_опт(t) º.

На бесконечности доля рекламных затрат в чистом доходе

.

Аналогичный подход применим при планировании затрат франчайзера на исследования.

Далее, определившись с расходами на рекламу и исследования, франчайзер вырабатывает стратегию расширения сети.

Предположим, что рынок может быть разделен между собственными и франчайзинговыми предприятиями рассматриваемой системы в любой пропорции, а время t непрерывно.

Пусть P_c(t) ³ 0 и P_Ф(t) ³ 0 — доля рынка, охваченная собственными и франчайзинговыми предприятиями, причем выполняется условие P_C(t) + P_Ф(t) £ 1.

Здесь под охватом рынка подразумеваем территориальный охват.

Франчайзер максимизирует свою прибыль:

,

где Y(t) — поток его прибыли. Будем считать здесь, что прибыль от собственной и доход франчайзинговой единицы не зависят от времени и равны p_с и p_ф соответственно.

Для простоты положим, что ликвидные средства франчайзера D(t) не приносят дохода.

Поток инвестиций франчайзера в развитие сети

(16) ,

где Z и E определяются вне модели, а в E учитывается оптимальный вступительный взнос, рассчитанный для случая одного франчайзингового предприятия. Будем считать, что франчайзер может, в принципе, ликвидировать предприятия сети, вернув без потерь свои инвестиции, поэтому при расчете прибыли не будет вычитать инвестиции на развитие сети из дохода.

Прибыль франчайзера

(17) Y(t) = p_сP_c(t) + rp_ф P_ф(t) – r₁L(t).

Прибыль, полученная от деятельности собственных и франчайзинговых предприятий системы, и новые кредиты идут на инвестиции и изменение объема ликвидных средств

(18) +D(t).

Задолженность изменяется по закону

(19) .

Предположим, что доходность собственных и франчайзинговых точек больше, чем процент по кредиту, то есть p_с/Z > r₁ и rp_ф/E > r₁, поэтому на этапе экстенсивного развития системы франчайзер берет максимальный для имеющихся собственных средств кредит и выбирает минимальный D(t), необходимый для поддержания ликвидности, то есть

(20) D(t) = k_l L(t),

K(t) = k_aL(t)/(1 – k_a),

, то

(21) .

Обозначив

 a = 1 – k_l + k_a /(1 – k_a) и b = k_a /(1 – k_a),

 из условий (16) – (21) получаем, что рассматриваемая задача с учетом начальных условий имеет вид (9) – (12):

(22) ,

(23)

(24) P_c(t) ³ 0, P_Ф(t) ³ 0, P_C(t) + P_Ф(t) £ 1, L ³ 0,

(25) P_c (0) = P_c⁰, P_ф(0) = P_ф⁰, L(0) = K⁰ / b.

Из второго уравнения системы (23) с учетом начальных условий получаем имеем следующее выражение для величины задолженности:

(26) .

Используя эту формулу и первое уравнение системы (10) получаем:

(27) p_T = b[L(T) – L(0)] = b{Z[P_c(T) – P_c⁰] + E[P_ф(T) – P_ф⁰]}/ a.

Таким образом, задача преобразовывается к виду (28) – (31):

(30)

P_c(t) ³ 0, P_Ф(t) ³ 0, P_C(t) + P_Ф(t) £ 1,

(31) P_c (0) = P_c⁰, P_ф(0) = P_ф⁰.

Эволюция франчайзинговой системы состоит из следующих основных этапов: