Эконометрика

Институт экономики и предпринимательства

(ИНЭП)

Контрольная работа по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант 1

Выполнил:

студент группы №

 

 Проверил:

 преподаватель ИНЭП,

кандидат технических наук

Ю.М. Давыдов

 

г. Лосино-Петровский

2008-2009 уч. год

1. Цель работы

Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).

Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.

2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и

множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших

квадратов (МНК).

2.1 Контрольная задача № 1

2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).

Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:

Таблица 1

xi	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55	61	67	69	76
yi	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40	41	43	45	48

2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;

x_i1 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;

ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14 (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1 32 )  (20 )

( 1 30) (24 )

 ( 1 36)  (28 )

 ( 1 40 )  (30 )

 (1 41 )  (31 )

 ( 1 47 )  (33)

X = (1  56) Y = (34 )

 (1 54) (37 )

 (1 60 ) (38 )

 (1 55 ) (40 )

 ( 1 61 ) (41 )

 ( 1 67 ) (43)

 (1 69 ) (45 )

 ( 1 76 ) (48 )

Значение параметров А^ = (а₀, а₁)^T и s² – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.

Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х^-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х ^Т.

Получим X^T* X * A^{^} = X ^T* Y ,

откуда A^{^} = (X^T* X ) ^–1 *( X^T* Y) (3),

где (X^T* X ) ^–1 - обратная матрица.

2.1.2.            Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

( 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 )

X^T = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 )

в) Находим произведение матриц X^T*X :

( 14 724 )

X^T* X = ( 724  40134)

г) Находим произведение матриц X^T* Y:

 ( 492 )

X^T* Y = ( 26907 )

д) Вычисляем обратную матрицу ( X^T* X) ^–1 :

 ( 1,064562 -0,0192 )

( X^T* X) ^–1 = (-0,0192 0,000371)

е) Умножаем обратную матрицу ( X^T* X) ^–1 на произведение

матриц (X^T*Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁)^T :

( 7,0361 )

A^ = ( X^T* X) ^–1 * (X^T* Y) = (  0,543501).

Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:

у_i^{^} = 7,0361 + 0,543501* x_i1 (4).

у_i^{^} (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646.

2.1.3 Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R² . Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные.

Q = ∑(y_i - y¯)² (5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; Q_R = ∑(y^_i - y¯)² (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Q_е = ∑(y_i – y^_i)² (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = Q_R + Q_е (8).

Q = 847,714; Q_R = 795,453; Q_е = 52,261.

Q = Q_R + Q_е = 795,453 + 52,261 = 847,714.

R² = Q_R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.

R² = 1 – Q_e / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.

В нашем примере коэффициент детерминации R², очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4).