Контрольная задача № 2

2.2 Контрольная задача № 2

2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:

Х₁ – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);

Х₂ - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .

Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:

Таблица 2

I (номер района)	yi	хi 1	хi 2
1	9,7	0,32	0,14
2	8,4	0,59	0,66
3	9,3	0,3	0,31
4	9,6	0,43	0,59
5	9,6	0,39	0,16

2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;

х_{i 1} , х_{i 2} – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;

Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5  (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1 0,32 0,14 ) (9,7)

( 1 0,59 0,66) ( 8,4

X = ( 1 0,3  0,31 ) Y = (9,3 )

( 1 0,43 0,59 ) (9,6)

(1 0,39 0,16 ) (9,6)

Значение параметров А^ = (а₀, а₁, а ₂ )^T и s² – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.

Для нахождения параметров A^{^} применим формулу (3) задачи № 1

A^{^} = (X^T* X ) ^–1 * X^T* (3),

где (X^T* X ) ^–1 - обратная матрица.

2.2.3. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

( 1 1 1 1 1 )

 X^T = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )

 ( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13 ).

 в) Находим произведение матриц X^T*X :

( 5  2,11 2,05 )

X^T* X = ( 2,11  0,932 0,94 )

( 2,05 0,94  1,101).

г) Находим произведение матриц X^T* Y:

( 46,6 )

X^T* Y = ( 19,456 )

( 18,731 ).

д) Вычисляем обратную матрицу ( X^T* X) ^–1 :

( 5,482 - 15,244 2,808 )

( X^T* X) ^–1 = ( -15,244 50,118 -14,805 )

( 2,808 -14,805  7 ,977 ).

е) Умножаем обратную матрицу ( X^T* X) ^–1 на произведение

матриц X^T* Y и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁, a ₂)^T :

 ( 11, 556 )

A^ = (X^T* X) ^–1 * (X^T* Y) = (  -5, 08 )

( 0, 0219 )

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

y_i^{^} = 11,456 - 5,08 * x_i1 - 0,0219 * x_i2 (4).

2.2.4. Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества найденных параметров а^₀ , a^₁ .a^₂ необходимо найти оценку дисперсии по формуле

1

s^² = ------------ (Y – X * A^)^T * (Y – X * A^),

k – n - 1

после чего можно найти среднеквадратические ошибки S_L по формуле S_L = s^√h_ii , где h_ii элементы главной диагонали матрицы (X^T* X) ^–1 .

А. Произведение матриц X * A^:

 ( 9,833 )

 ( 8,472 )

Y^{^} =X * A^ = ( 9,536 )

( 9,283 )

(9,476 ).

Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) :

( -0,132 )

( - 0,072 )

( Y - X * A^ ) =(-0,036 )

( 0,116 )

( 0,0835 ).

В. ( Y - X * A^ )^T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )

Г. Произведение ( Y - X * A^ )^T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .

С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2

1 1

s^² = ------------ (Y – X * A^)^T *(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.

k – n - 1 2

s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .

Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:

S ₀ = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;

S ₁ = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;

S ₂ = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .

Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.

3. Контрольная задача № 3

Оценки параметров трендовой модели.

 

3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно

произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.

 

Таблица 3

Год	Объем розничного товарооборота, млрд. руб.	Темп роста по годам, %	Абсолютный прирост по годам, млрд. руб.
1	2	3	4
1	18,4	-	-
2	18,9	103,5	0,5
3	19,8	105,3	0,9
4	20,3	102,6	0,5
5	21,1	104,4	0,8
В среднем	19,7	103,9	0,67

3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а₀, а₁, а₂, а₃ , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а₂ и а₃ .

Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1,  будут иметь следующий вид:

 ( 1 1 1 1 )  (1,84E+10 )

 ( 1 2 4 8 )  ( 1,89E+10 )

 X = ( 1 3 9  27)  Y =  ( 1, 98E+10)

 ( 1 4 16 64) (2, 03E+10)

 ( 1 5 25 125) ( 2,11E+10 )

Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:

 (а₀ ) ( 1,79E+10 )  (1, 838E+10 )

 (а₁ ) ( 3,976E+08 ) ( 1,899E+10 )

 = (а₂ ) = ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 )

 (а₃ ) (- 8,333E+06) ( 2, 039E+10)

 ( 2, 108E+10).

Отрицательное значение параметра а₃ = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.

3.3. Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R².

Значение коэффициента детерминации R² = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели

y_t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t² – 0,008333*t³ .