Вычислите площадь треугольника ABC, если АВ = 8,5 м, AC = 5 м, высота AH = 4 м и точка H лежит на отрезке ВС

13.  Вычислите площадь треугольника ABC, если АВ = 8,5 м, AC = 5 м, высота AH = 4 м и точка H лежит на отрезке ВС.

14.  Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны 6 дм и пересекаются под углом 60°. Вычислите площадь четырехугольника ABCD.

Из предложенного набора задач в классе можно решить задачи 1, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13. Остальные задачи на дом.

При решении задачи 1 (б) полезно обратить внимание учащихся на прием «удвоения медианы» — откладывание на продолжении медианы AD за точку D отрезка, равного медиане.

2.2. Текущее повторение ранее пройденного

Текущее повторение в процессе изучения нового материала — весьма важный момент в системе повторения. Оно помогает устанавливать органическую связь между новым материалом и ранее пройденным.

Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала.

В этом случае повторяется материал, естественно увязывающийся с новым материалом. Повторение здесь входит составной и неотъемлемой частью во вновь изучаемый материал.

Например, учителю предстоит на уроке геометрии доказать теорему о сумме внутренних углов треугольника. Готовясь к уроку, он в своем сознании припоминает те положения, которые необходимы для доказательства этой теоремы. Такими положениями являются: 1) величина развернутого угла, 2) понятие об углах, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, 3) неизменность суммы от замены ее слагаемых равными им слагаемыми.

У учителя эти положения расположены в определенной логической связи, необходимой для установления свойств внутренних углов треугольника. У учеников эти представления частично забыты, а другая часть находится в произвольном порядке, не подчиненном какому-либо требованию. Задача учителя состоит в том, чтобы, организуя текущее повторение, путем словесного воздействия и иллюстраций на чертеже, восстановить в памяти забытые учащимися положения и расположить их в том порядке, как они расположены у него.

Для этого он выполняет обычную, но заранее продуманную работу — повторяет то из пройденного материала, что необходимо для доказываемой теоремы. Это он осуществляет путем беседы и постановки перед учащимися ряда вопросов. Например, перед доказательством теоремы о сумме углов треугольника ученикам можно задать такие вопросы:

1.    Какой угол называется развернутым?

2.    Чему равна градусная мера развернутого угла?

3.    Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Какими свойствами они обладают?

Учитель своими вопросами приводит в движение полученные ранее учениками представления, систематизирует их и подготавливает учеников к пониманию доказательства теоремы.

Под руководством учителя ученики на уроке воспроизводят ранее изученный ими необходимый материал. В результате этого доказательство новой теоремы воспринимается учащимися легко, а дальнейшая работа учителя — воспроизведение доказанного и упражнения — обеспечивает вторичное осмысливание теоремы и ее закрепление.

Во втором случае вне связи с новым материалом, когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится повторять на специальных уроках.

Повторение пройденного вне связи с новым материалом необходимо весьма тщательно продумать. Удачный подбор материала, установление его последовательности, важность нового подхода к прошлому материалу, введение элементов новизны в повторяемый материал, продуманная организация работы — все это необходимо учитывать при подготовке к рассматриваемому виду повторения.

При текущем повторении вопросы и упражнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы.

Текущее повторение осуществляется в процессе разбора упражнений, включается в домашнее задание. Оно может быть проведено как в начале или в конце урока, так и во время опроса учащихся.

Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением, которое нельзя строго планировать на большой период. Сопутствующее повторение не вносится в календарные планы, для него не выделяется специальное время, но оно является органической частью каждого урока. Сопутствующее повторение зависит от материала, привлекаемого для изучения очередного вопроса, от возможности установить связи между новым и старым, от состояния знаний учащихся в данный момент. Успех сопутствующего повторения в значительной степени обусловливается опытом и находчивостью учителя. Сопутствующим повторением учитель по ходу работы устраняет неточности в знаниях, напоминает вкратце давно пройденное, указывает их связь с новым.

Регулярно занимаясь такого рода сопутствующим повторением старого в классе, учитель приучает своих учеников проводить его и при самостоятельной работе дома путём наведения надлежащих справок. Сопутствующее повторение ведётся не только при изучении нового теоретического материала, но и при решении задач: ознакомившись с условием задачи, надо вспомнить точный смысл тех терминов, какие встречаются в её тексте. Подобная «мобилизация» надлежащего круга своих сведений имеет первостепенное значение для успешного решения задачи и вместе с тем является важной формой работы по повторению. Само собой разумеется, что использование учебника и старых записей в тетрадях должно при этом всячески поощряться: если ты такую-то вещь позабыл, сумей найти в книге или в тетради соответствующее место.

По цели и по времени проведения текущее и сопутствующее повторения ближе друг к другу, нежели обобщающее и заключительное повторения, которые направлены не столько к закреплению математических фактов, сколько к их систематизации.

2.3. Тематическое повторение

В процессе работы над математическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе ее изучения или после некоторого перерыва.

Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и сообщается материал одной какой-нибудь темы или раздела программы.

В процессе работы над темой вопросы, предлагаемые учащимся по каждому разделу, следует вновь пересмотреть: оставить наиболее существенные и отбросить более мелкие. Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отражается и на их количестве. Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов. Последнее обстоятельство требует от учителя тщательной подготовки к такому повторению.

Повторение на уроке проводится путем беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу. После этого учащиеся получают задание повторить определенную тему и предупреждаются, что будет проведена контрольная работа или зачет.

Контрольная работа должна включать все основные вопросы по изученной теме. После выполнения контрольной работы проводится разбор характерных ошибок и организуется повторение для их устранения.

При тематическом повторении полезно составлять итоговые схемы. Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий, входящих в данную тему, их взаимосвязь в логической последовательности, отношение вида к роду и т. д.

Процесс составления таблиц в одних случаях, подбор и запись примеров после анализа готовой таблицы в других случаях являются одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующем повторении [8].

Последовательное изучение различных особых случаев при повторении весьма полезно закончить их классификацией, что поможет учащимся яснее различить отдельные случаи и сгруппировать их по определенному признаку.

Так, например, повторение темы «Четырехугольники» можно закончить составлением следующей схемы (рис. 1).

Далее можно предложить рассмотреть свойства четырехугольников и доказать их в той последовательности, в которой эти четырехугольники расположены в схеме; установить, что каждый последующий четырехугольник обладает всеми свойствами ранее стоящих четырехугольников; установить, сколько и какие элементы необходимы для построения каждого из указанных четырехугольников; объяснить, почему число данных для построения каждого четырехугольника уменьшается от пяти для четырехугольника в общем виде, до одного — для квадрата.

В старших классах можно сообщить учащимся, что для построения многоугольника необходимо (вообще говоря) иметь  данных (в числе которых, по меньшей мере, один, линейный элемент) и что это число уменьшается в зависимости от его вида.

Например, чтобы «построить треугольник, надо иметь  элемента; четырехугольник —  элементов; шестиугольник —  элементов и т.д.

Умея классифицировать четырехугольники (и вообще понятия), учащиеся лучше поймут связь между свойствами различных видов четырехугольника. Они запомнят, что свойства каждого вида сохраняются для всех видов, стоящих на более низких ступенях деления. Классификация понятия является хорошим средством для систематизации знаний учащихся и поэтому заслуживает большего внимания, чем ей уделяют в школьной практике.

Такое глубокое повторение имеет большую ценность и дает больший эффект, чем обычное повторение того, что приводится в учебнике. При таком повторении темы она предстает перед глазами учащихся как стройная цепь логически связанных понятий, каждое определение перестает быть случайным набором слов и связей [3].

Результат такого анализа несомненен

Таким же образом можно построить повторение многих разделов курса. В систему упражнений на повторение темы «Четырехугольники» могут быть включены такие вопросы:

1.      Можно ли построить параллелограмм: 1) из четырех неравных отрезков, 2) из двух равных и двух неравных отрезков, 3) из четырех попарно равных отрезков?

2.       Определяется ли параллелограмм: 1) двумя смежными сторонами, 2) его стороной и двумя прилежащими к ней углами, 3) его двумя диагоналями, 4) одной диагональю и двумя углами, заключенными между диагоналями, 5) одной диагональю и двумя углами, на которые она делит угол параллелограмма?

Сколькими и какими элементами определяется параллелограмм?

3.      Указать условия: 1) необходимые, 2) достаточные, 3) необходимые и достаточные для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

4.      Достаточно ли равенства: 1) одной пары, 2) обеих пар противоположных углов четырехугольника для того, чтобы он был параллелограммом?

5.      Для того чтобы параллелограмм был ромбом, достаточно ли, чтобы одна из его диагоналей служила биссектрисой одного из его углов? А в случае четырехугольника?

6.      Внутри, какого параллелограмма существует точка, равноотстоящая: 1) от всех его вершин, 2) от всех его сторон?

7.      Построить параллелограмм по высоте и диагонали. Сколько решений имеет задача?

8.      Построить прямоугольник по диагонали и сумме двух других сторон.

9.      Построить параллелограмм по двум сторонам и высоте.

10.    Построить квадрат по диагонали.

Тематическое повторение непременно должно предшествовать заключительному повторению в конце четверти или учебного года. Без выполнения этого этапа повторения невозможно успешное осуществление заключительного повторения.

2.4. Заключительное повторение

Повторение, проводимое на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляемое в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом, мы будем называть заключительным повторением.

Цели тематического повторения и заключительного повторения аналогичны, материал повторения (отбор существенного) весьма близок, а приемы повторения в ряде случаев совпадают.

Заключительное повторение в конце учебного года проводится также по темам, однако здесь из темы берется наиболее существенное, материал темы более суживается. Если при тематическом повторении сравнение проводится в рамках этой темы, то при заключительном повторении сравнение математических явлений проводится на более широком материале, и путем такого сравнения учащимся показывается связь между разделами курса.

Такое повторение способствует большему осознанию пройденного, указывает на связь различных разделов курса и одновременно дает возможность обозреть большой материал, создавая представление о системе математики.

Заключительное повторение должно помочь учащимся обобщить известные им знания, обозреть полученные знания в определенной идейно направленной системе, выявить внутренние логические связи между соответствующими отделами предмета, прочно закрепить пройденное.

Таким образом, заключительное повторение учебного материала преследует цели:

1.      Обозрения основных понятий, ведущих идей курса соответствующего учебного предмета; напоминания в возможно крупных чертах пройденного пути, эволюции понятий, их развития, их теоретических и практических приложений.

2.      Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

3.      Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу, присоединения к изученному материалу предшествующих лет обучения новых знаний допускаемых программой, с целью его углубления [3].

Уроки по заключительному повторению, как и любой другой урок, должны быть весьма тщательно продуманы как с точки зрения содержания, так и организации их. При этом они могут быть проведены по плану, не совпадающему с планом первоначального изучения. На уроках заключительного повторения должны широко использоваться сопоставления, сравнения и аналогии; постановка самих вопросов по своему характеру должна заставлять несколько по-иному осмысливать прежний материал.

Рассматривая вопросы организации повторения, нельзя увлекаться внесением новизны. Элементы новизны, вносимые при заключительном повторении, не должны наслаивать на основной материал новые, еще не осознанные факты, в равной мере это замечание относится к чрезмерному разнообразию уроков повторения; повторение нельзя отрывать от тех методов, которыми учитель пользовался на обычных уроках [3].

Примером такого вида повторения может служить заключительное повторение курса планиметрии. Это повторение преследует цель систематизировать и обобщить ранее изученные свойства плоских фигур.

Систематизацию знаний и умений, учащихся удобно построить в три этапа.

На первом этапе рассматривается учебный материал, отражающий свойства одной из основных фигур планиметрии — треугольника: повторяются теоремы о свойствах и признаках различных треугольников, в результате чего систематизируются умения учащихся проводить доказательные рассуждения.

На втором этапе повторения учебный материал группируется вокруг многоугольников. Особенностью второго этапа является отработка умений учащихся проводить поиск логических закономерностей и обоснований свойств геометрических фигур на более сложных, по сравнению с первым этапом, геометрических конфигурациях. Кроме того, здесь неизбежно еще раз повторяются свойства треугольников.

На третьем этапе повторяются свойства окружности (круга) и ее элементов. Этот этап подводит итог изучения курса планиметрии.

Содержание повторения

Первый этап

1.    Определение треугольника и его элементов.

2.    Понятие о равных треугольниках.

3.    Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

4.    Свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Признак равнобедренного треугольника. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

5.    Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника и его свойства.

6.    Средняя линия треугольника. Теорема Фалеса.

7.    Теорема Пифагора. Следствия из теоремы Пифагора. Решение прямоугольных треугольников.

8.    Признаки подобия треугольников.

9.    Решение и построение треугольников. Теорема синусов. Теорема косинусов. Неравенство треугольника. Векторы.

10.  Площадь треугольника.

Учебный материал этого этапа относится в основном к началу изучения курса планиметрии. Отсюда вытекает необходимость напомнить учащимся некоторые логические рассуждения. Например, схему доказательства от противного, структуру прямого и обратного утверждении, что такое свойство фигуры и что такое признак. К тому же треугольник является одной из основных фигур в планиметрии, поэтому многие факты: определения, формулировки теорем, формулы для вычисления элементов треугольника хорошо известны учащимся. Исходя из этого, можно за основную форму организации повторения на первом этапе принять обзорные лекции, в которых следует кратко осветить весь теоретический материал, обращая внимание на логику и поиск доказательств.

Лекции иллюстрируются и дополняются решением задач: на лекции вместе с учителем либо самостоятельно на специально выделенных уроках.

Второй этап

1.    Определение параллелограмма. Признаки и свойства параллелограмма Определение прямоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника. Определение ромба. Свойство диагоналей ромба. Квадрат Трапеция, средняя линия трапеции

2.    Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника Внешний угол многоугольника Правильные многоугольники.

3.    Площадь прямоугольника, параллелограмма, трапеции, произвольного многоугольника.

Так как материал этого этапа в основном использует свойства треугольника, повторение которых прошло на первом этапе, рекомендуется проведение уроков в виде бесед, в ходе которых учащиеся под руководством учителя доказывают основные теоремы и решают задачи.

Третий этап

1.    Определение окружности и ее элементов.

2.    Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

3.    Углы, вписанные в окружность. Центральный угол и его мера.

4.    Окружность, вписанная и описанная около правильного многоугольника. Формулы, выражающие соотношения между стороной правильного многоугольника и радиусом вписанной (описанной) окружности.

5.    Длина дуги окружности.

6.    Круг. Площадь круга. Площадь кругового сектора. Площадь кругового сегмента.

Повторение содержания этого этапа рекомендуется провести в процессе самостоятельной работы учащихся, которая включает в себя: составление конспектов теоретического материала по плану, предложенному учителем, и решение рекомендованных задач по карточкам. Фактически третий этап повторения является контрольным. Здесь проверяются и корректируются умения и навыки учащихся проводить доказательные рассуждения и применять весь багаж знаний по планиметрии в ходе решения задач. На этом этапе учитель выступает в роли консультанта и проводит индивидуальную работу с учащимися [10; 11].

2.5. Классификация повторения в зависимости от содержания повторяемого материала

Повторение можно классифицировать в зависимости от содержания повторяемого материала: повторение, проводимое на уровне понятий, на уровне системы понятий, на уровне теорий. Это дает возможность осуществлять дифференцированный подход к учащимся, учитывать их возрастные и индивидуальные особенности [5].

Обобщающее повторение на уровне понятий в большей степени приемлемо в группе слабоуспевающих учащихся, а обобщающее повторение па уровне теорий — в группе наиболее подготовленных учащихся. При работе со слабыми учащимися не следует пассивно приспосабливаться к их слабым сторонам, необходимо активно воздействовать на их умственное развитие, чтобы ученики постепенно переходили к наиболее оптимальному процессу обучения. Ученика, достигшего определенных положительных сдвигов в учении, надо как можно быстрее вводить в общий ритм работы класса, оказывая при этом необходимую помощь.

При обобщающем повторении на уровне понятий сопоставляются изученные понятия, школьники учатся переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков, давать определение понятию, принимая за основу (если это возможно) другое родовое понятие, отличное от того, которое содержалось в исходном определении понятия. В процессе этой работы у учащихся вырабатываются умения сравнивать понятия по схеме: выделение признаков понятий нахождение различных, а затем сходных признаков, сопоставление понятий по этим признакам. Основными методами работы на таких уроках являются методы наблюдения и сравнения.

Например, при повторении понятия касательная к окружности полезно, чтобы ученики свойство касательной (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания) переформулировали в определение касательной: прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной к окружности. Определение касательной (прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности) переформулировали как свойство касательной: касательная с окружностью имеет одну общую точку.

При обобщающем повторении на уровне системы понятий отыскиваются новые связи и отношения между понятиями, прослеживается развитие определенных понятий в их иерархических зависимостях, при этом происходит либо обогащение и расширение понятий, либо образование новых. Обобщающее повторение на уровне системы понятий должно быть также направлено на выявление общих свойств группы понятий и на их распространение на другие понятия, при этом на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Сначала следует выделить отношения, устанавливающие связи между элементами одного и того же класса математических объектов, затем отношения, устанавливающие связи между элементами различных классов. К ним следует отнести отношения тождества, несогласованности, подчинения, соподчинения, частичного совпадения.

Для того чтобы систематизированным знаниям была придана определенная структура, полезно также представить полученные результаты обобщения в виде классификационной схемы, сводных таблиц, определенных записей.

В схемах и таблицах выделяются не только элементы схемы, но и отражаются отношения между ними. Охватывая разом множество понятий, учащимся легче проследить за развитием узловых понятий, увидеть, в какие отношения вступает каждое из них с остальными. Схемы выступают как модель структуры учебного материала и как средство лучшего отражения этой структуры в сознании учения. Они помогают школьникам получить целостное представление об изученной порции учебного материала.

Приведем примеры схем, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне системы понятий.

При обобщающем повторении темы «Многоугольники» происходит сопоставление понятий треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, выясняются связи между ними. Эти понятия включаются в новые отношения, учащиеся устанавливают иерархию понятий. Результатом обобщения может служить схема, изображенная на рис. 2.

Методы работы с таблицами и схемами различны: учитель проводит беседу, выразив ее результаты в виде схемы; знакомит учащихся с планом беседы, а затем по этому плану проводит ее; знакомит учащихся со схемой, по которой они самостоятельно проводят обобщение, предлагает учащимся самостоятельно обобщить материал и выразить результаты в виде схемы.

Рассмотрев эту схему с учащимися, учитель предлагает серию вопросов:

1.    Как определить ромб через четырехугольник, квадрат через четырехугольник, квадрат через ромб?

2.    Можно ли определить ромб через прямоугольник?

3.    Что является пересечением множества всех прямоугольников и множества всех ромбов?

Методика организации работы учащихся по данной теме может быть и другой. Например, учитель может лишь определить цель работы и указать основные вопросы, на которые учащиеся должны найти ответы; определить не только цель работы и перечень вопросов, но и раскрыть этапы и методику работы над этими вопросами.

При обобщающем повторении на уровне теорий дается определенная трактовка изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных теорий, входящих в содержание математических курсов, при этом строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений понятий. Значительное внимание уделяется происхождению понятий. Школьники устанавливают общие закономерности, причинно-следственные отношения, обобщают и конкретизируют материал, применяют общие положения к конкретным фактам. Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной фундаментальной теорией.

Обобщающее повторение на уровне теорий освещает полученные знания не только в плане внутрипредметных, но и межпредметных связей, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиций одной какой-либо теории.

Например, при повторении темы «Векторы» основное внимание следует уделить векторному методу решения задач. Сначала необходимо повторить основные теоретические факты: коллинеарность и равенство векторов, сложение, вычитание и умножение вектора на число. Основное время урока следует отвести для решения задач, показывающих применение векторов при доказательстве и решении задач.

Повторение можно организовать в ходе решения задач:

1.    На стороне BC треугольника  отмечена точка N так, что . Выразите вектор  через векторы  и .

2.    Три точки A, B и C расположены так, что . Докажите, что для любой точки O справедливо равенство .

3.    Доказать для того, чтобы C было серединой отрезка AB необходимо и достаточно выполнение векторного равенства .