Индуктивность

2. Индуктивность.

Ребенок, самостоятельно отыскивающий неизвестное ему решение задачи, совершает элементарный творческий процесс. Отправным пунктом этого мыслительного процесса является простая индукция, которая в свою очередь, опирается на наблюдения. Для того, чтобы подвергнуть какое-либо свойство индуктивной проверке, надо его сначала заметить. В ходе решения задач процесс обобщения, как известно, часто осуществляется при помощи математической или полной индукции, вывод, полученный таким путем, уже является дедуктивным. Простая индукция сама по себе не обладает доказательной силой, но она обеспечивает исходное положение для дедукции. Существует набор упражнений для применения индуктивного метода, для развития наблюдательности и умения осуществлять обобщения. Таковы темы “переправ”, “перемещений”, “магических квадратов” и так далее.

Такие задания доступны даже людям, не обладающим специальными математическими знаниями:

Отряд солдат подходит к реке, через которую необходимо переправиться. Но мост сломан, а река глубока. Что делать? Вдруг командир замечает двух мальчиков, которые катаются на лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков ¾ не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?

Как расставить 6 стульев у четырех стен комнаты, чтобы у каждой стены стояло по два стула?

В 9 клеток квадрата впишите числа 1, 2 и 3, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа были различны.

3. Возбуждение интереса.

Что может заставить думать, размышлять, решать задачи, тем более не обязательные для учебных дел? Не принуждение и даже не всегда убеждение. Источник побуждения надо искать в эмоциях ребенка. Основным побудителем к умственному труду является интерес, первоначально появляющийся как производная от впечатления, а затем уже как желание познания. На базе интереса возникает и увлечение процессом деятельности. Увлечение деятельностью перерастает в интерес к предмету деятельности, к открывающимся перспективам. Но увеличение интереса одновременно сопровождается возникновением новых вопросов и жадным стремлением получить на них ответы, то есть усилением чувства неудовлетворенности достигнутым, которое в свою очередь становится теперь побудительной силой для дальнейших размышлений и поисков нового.

Интерес к математике ¾ важнейший помощник в преодолении возникающих в процессе ее обучения трудностей, в мобилизации всех умственных и физических сил для достижения этой цели. Интерес ¾ не врожденное качество, он воспитуем и, прежде всего, сомовоспитуем. Прежде всего, он может воспитываться извне: увлеченным математикой учителем, родителями или ближайшей средой. Но это внешнее побуждение лишь стимул, толчок к внутреннему, к воспитанию в себе интереса к математике. Не трудно понять, что чем раньше этот толчок будет дан, тем раньше интерес перерастет в увлеченность, страсть, и, кто знает, в очередной математический гений.

Внеклассные занятия по математике только тогда будут достигать свои целей, основная из которых - развитие математических способностей, когда у детей будет интерес к тому, чем они занимаются. Привлечь внимание и пробудить интерес можно разными средствами (красочное оформление помещения, интересное вступительное слово, необычное название, привлечение сказочных героев, занимательное формулирование заданий). Для возбуждения интереса на внеклассных занятиях надо не только привлекать внимание детей к каким-то ее элементам, но и вызывать у ребят удивление. Надо допускать и более свободное, чем на уроках, переживание детьми удовольствий, с более свободным внешним их проявлением.

Пробудившийся интерес необходимо поддерживать на протяжении всего занятия, чтобы детям захотелось вернуться к подобной деятельности. Поддерживая интерес различными приемами надо его постепенно воспитывать: в начале, как интерес к своей непосредственной деятельности во время внеклассных занятий, затем чтобы он перерастал в интерес к математике как к науке, в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям в области математике. При организации внеклассной работы по математике надо добиваться максимальной деятельности каждого ученика - организаторской, трудовой, особенно мыслительной для выполнения всевозможных заданий. Для поддержания интереса необходимо, чтобы:

- материал был понятен каждому ученику;

- во всяком новом должны быть элементы старого.

Занимательность.

Занимательность служит тем же педагогическим целям, что и интерес. Истинная занимательность предназначена привлекать внимание, активизировать мысль, возбуждать интерес к предмету и желание им заниматься. Она всегда несет в себе черты остроумия и придает задаче оттенок игры. Через занимательность проникает в сознание ощущение прекрасного в математике, которое при последующем изучении предмета дополняется пониманием прекрасного.

Занимательность ¾ не развлечение детей пустыми забавами, а занимательность содержания математических задач, либо формы, в которую они облекаются. Педагогически оправданная занимательность имеет целью привлечь внимание детей, усилить его, активизировать их мыслительную деятельность. Занимательность в этом смысле на внеклассных занятиях всегда несет элемент остроумия, игрового настроя, праздничности. Она служит основой для проникновения в сознание ребенка чувства прекрасного в самой математике. К эстетическим элементам занимательности относятся: легкий юмор фабулы, неожиданность ситуаций или развязки, стройность геометрической формы, изящество решения, под которым понимается сочетание простоты и оригинальности методов его получения. Этими признаками истинной занимательности обладают все лучшие произведения коллекции математической смекалки.

Один господин встретил во время прогулки знакомую семью, состоящую из деда отца и сына. Поздоровавшись со всеми, он спросил их в шутку, сколько им лет. «Нам всем вместе 100 лет» ¾ ответил за всех дед и важно зашагал в перед. Тогда господин продолжая интересоваться их возрастом, спросил отца, «Ну, скажите же, сколько вам лет?» ¾ «Мне вместе с сыном 45 лет,» ¾ отвечал отец, ¾ «а сын на 25 лет моложе меня.» Так любопытному господину и не пришлось узнать сколько лет каждому из них. Не сообразите ли Вы?

Одним из видов занимательности является поэтическая форма математической информации, предназначенная для получения эффекта как художественного, так и педагогического. Стихотворный текст применяется, как один из мнемонических приемов запоминания.

Например, при изучении с первоклашками геометрического материала, можно использовать следующие стихи:

Без конца, без края ¾ линия прямая.

Хоть сто лет по ней иди,

Не найдешь конца пути.

Вот веревочка моя!

Привязал к ней камень я,

И веревка моментально

Натянулась вертикально!

От вершины по лучу, словно с горки я качу.

Только луч теперь ¾ она, и зовется «сторона».

У круга есть одна подруга.

Знакома всем ее наружность.

Идет она по краю круга

И называется окружность!

Еще Б. Паскаль говорил: “Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным”. Однако следует избегать ложной занимательности, если она приводит к неряшливости в математических выражениях, к вульгаризации отдельных математических положений, к некорректности в изложении, к нелепым решениям и рассуждениям.

Общедоступность.

Общедоступность - это одно из достоинств математических развлечений, так как решение большинства задач этой категории опирается на весьма скромную математическую базу, в основном арифметическую. Решение некоторых задач может быть простым, доступным для понимания, но не каждый может сообразить, как решить эту задачу.

У одного человека был золотой крест, украшенный бриллиантами. Этот человек никогда не интересовался тем, сколько всего бриллиантов вставлено в крест. Он знал лишь одно: если начать считать с одного из боковых концов или с верхнего конца вниз, то всегда окажется 6 бриллиантов.

Однажды этот крест был отдан в починку золотых дел мастеру. Мастер потерял 2 бриллианта и, не вставляя на их место других, вернул крест починенным, лишь расположив бриллианты по-другому. Владелец пересчитал бриллианты «по-своему» и ничего не заметил.

Как мастер ухитрился расположить бриллианты?

Значение задач математических развлечений состоит так же в том, что почти все они не меньше чем школьные упражнения педагогически целенаправленны: одни - на укрепление навыков логического мышления, другие - на укрепление правильности математической речи, третьи - на развитие осторожности в суждениях “по аналогии”, иные - на расширения представлений о разнообразии и красоте геометрических форм, представлений о связях математики с практической деятельностью, на укрепление конструктивных навыков самостоятельной работы и так далее, а все в совокупности - на общие повышение математической культуры и развития математических способностей тех, кто систематически упражняется в решении задач подобного рода.

Одним из видов математических развлечений являются логические упражнения. На внеклассных занятиях по математике в процессе логических упражнений дети практически учатся сравнивать математические объекты, выполнять простейшие анализа и синтеза, устанавливать связи между родовыми и видовыми понятиями. Проводя анализ, ученик в математических объектах выделяет существенные признаки, которые должны удовлетворять определенным психическим и дидактическим требованиям.

Возможность их операционного выявления, то есть выявления посредством некоторых ¾ причем достаточно элементарных ¾ операций.

Их известность для обучающихся.

Их однозначность. При этом однозначными признаками следует считать те, которые легко различимы, точно выделяются и в основном одинаково оцениваются всеми людьми.

Предельно возможная легкость их выявления, удобства оперирования ими.

Примерами таких заданий могут служить математические ряды:

1, 3, 5, 7, 9, ?

1, 3, 4, 7, 11, 18, ?

Текстовые задачи на развитие логического мышления, работу над которыми мы предлагаем проводить с детьми следующим образом:

Сегодня мы будем отгадывать интересные загадки. Я расскажу одну загадку и расскажу то, о чем в ней говорится.

Задача 1. Было три фигурки: треугольник, круг и квадрат (учитель одновременно изображает это в левой части доски). Каждая из них жила в одном из трех домиков: первый домик был с высокой крышей и маленьким окном, второй с высокой крышей и большим окном, третий с низкой крышей и большим окном. (учитель рисует домики, как на рисунке).

Треугольник и круг жили в домиках с большим окном, а круг и квадрат в домиках с высокой крышей (по мере рассказа учитель дает схематическое изображение этих суждений справа от изображения домиков). Нужно отгадать, в каком домике живет каждая фигурка (изображение вопроса задачи дается еще правее).

Решение. Давайте подумаем, как отгадать эту загадку. Что нам известно про фигурки? Нам известно, что треугольник и круг живут в домиках с большим окном, а круг и квадрат в домиках с высокой крышей. Про какую фигурку известно больше всего? Конечно, про круг. Что известно? Что круг живет в домике с высокой крышей и большим окном. Есть у нас такой домик? Да, это домик 2. Напишем цифру 2 в ответ рядом с кругом.

Что теперь можно узнать? Можно узнать, где живет треугольник. Он живет в домике 3. Почему? Потому что в загадке сказано, что треугольник живет в домике с большим окном. А так как в одном таком домике живет круг, то в другом живет треугольник. Напишем в ответе рядом с треугольником цифру 3.

А где живет квадрат? Квадрат живет в домике 1, потому что этот домик остался свободным. Напишем в ответе рядом с квадратом цифру 1.

Когда ученики хорошо освоят такие несложные логические задачи, им можно предложить более трудные.

Задача 2. Миша, Сережа, Дима, Валера, Костя рисовали машины. Кто-то рисовал пожарную машину красным карандашом, кто-то гоночную машину синим фломастером, кто-то грузовую машину коричневой ручкой, кто-то легковую машину синим карандашом, кто-то легковую машину коричневым фломастером. Миша и Сережа рисовали карандашом, Сережа и Дима рисовали одинаковые машины, Дима и Костя рисовали одинаковым цветом. Кто что рисовал?

После решения задач указанного вида с опорой на наглядно представленное условие целесообразно проводить работу только с текстовой частью условий этих задач (то есть без изображения суждений), чтобы дети практиковались рассуждать. Наряду с этим полезно также предлагать детям самостоятельно составлять подобные задачи. Здесь возможны два варианта. На первом этапе учитель предлагает детям два звена условия, где говорится о предметах и их признаках, а суждения, характеризующие связи предметов и признаков, дети придумывают сами. На втором этапе дети сами сочиняют всю задачу.

Для повышения эффективности обучения и развития детей следует позаботиться прежде всего о содержании предлагаемых задач, их потенциальн6ых дидактических возможностях и методике работы с ними. В этом смысле заслуживают внимания задачи, допускающие не одно возможное решение, а несколько (здесь имеются в виду не разные способы нахождения одного и того же ответа, а существование разных решений-ответов и их поиск, то есть решение рассматривается не как процесс, а как результат-ответ).

Необходимость в использовании таких задач особенно остро ощущается в условиях дифференцированного и индивидуализированного обучения. Одно дело, когда ребенок поставлен в рамки отыскания единственного возможного решения, и другое ¾ когда перед ним открывается многоходовой, со многими выходами лабиринт. В первом случае ¾ все или ничего, во втором ¾ движение по ступенькам разного уровня. В зависимости от знаний, способностей и развития один ученик может подняться на одну ступеньку, другой ¾ на две, третий ¾ на три и так далее. Задача в этом случае не сковывает ученика жесткими рамками одного решения, а открывает ему возможность для поисков и размышлений, исследований и открытий, пусть на первый раз и маленьких. И оценивать при этом деятельность ученика удается в зависимости от того, кто сколько нашел решений.

Предлагаем несколько таких задач, которые считаем необходимым использовать на внеклассных занятиях по математике.

Незнайка пытался записать все примеры на сложение трех однозначных чисел, чтобы в результате каждый раз получалось 20 (некоторые слагаемые могут быть одинаковыми), но все время ошибался. Помогите ему решить эту задачу.

Эта задача имеет 8 решений. Чтобы не пропустить ни одного из них, необходимо записывать примеры в определенной последовательности. Например, начать запись с наибольших возможных двух первых слагаемых, а затем последовательно уменьшая на единицу второе слагаемое, а в двух случаях ¾ и первое.

Три богатыря ¾ Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алеша Попович, защищая от нашествия родную землю, срубили Змею Горынычу все 13 голов. Больше всех срубил Илья Муромец, а меньше всех ¾ Алеша Попович. Сколько голов мог срубить каждый из них?

В примерах на вычисление Незнайка перепутал знаки действий и числа, записав:

1) 6 4 + 5 = 26

2) 42 7 + 3 = 21

Запишите правильно примеры, используя те же числа (знаки действий можно использовать и другие).

Решение:

1) 6 5 – 4 = 26 или 5 4 + 6 = 26

2) 42 – 7 3 = 21 или 42 3 + 7 = 21

Шпунтик и его друзья из данных фигур составляли новые. Каждый из них из двух таких многоугольников, как показано на рисунке, составил новый и нашел сумму длин его сторон. Ответы у них получились разные, но у всех правильные. Как это могло быть и какие ответы они получили?

Решение:

И сказал Кощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе осталось до утра. А утром я задумаю три цифры а, в и с, ты мне назовешь три числа м, н, и к. Тогда я назову тебе число ам + вн + ск, и ты должен отгадать, какие цифры я задумал. Не отгадаешь ¾ голова с плеч». Надо бы помочь Ивану-Царевичу. Что вы ему посоветуете?

Решение: Ученики, которые хорошо решают задачи на представление числа в виде суммы разрядных слагаемых и обратные им задачи, поймут идею решения предложенной задачи. Простейшее решение ¾ назвать числа 100, 10 и 1. Можно назвать и числа 200, 20, 2 или 300, 30,3 и так далее, но тогда названное Кощеем число Иван-Царевич должен делить на 2, 3 и так далее. Последние решения более интересные и требуют от учеников большей сообразительности.

Задачи с многовариантными решениями весьма полезны для внеклассных занятий в качества олимпиадных заданий, так как открываются возможности по-настоящему дифференцировать результаты каждого участника. Такие задачи могут с успехом использоваться и в качестве дополнительных индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основными во время самостоятельной работы на уроке, или для желающих в качестве дополнительных домашних заданий.

Большое значение, особенно для самых юных математиков, имеют задачи в стихах. Такие задачи интересны и доступны детям. Они вносят некоторую живость в занятие, воспринимаются детьми как некоторая игра. Кроме того, они воспитывают и эстетические чувства. Такие стихотворные задания учителю не сложно сочинить и самому, взяв за основу какую-либо задачу, можно использовать и стихи детских авторов, задав после прочтения вопрос.

Котик с мышкою дружил, мышке тапочки купил.

И на все 4 лапки натянула мышка тапки.

Побежала по тропинке, да споткнулась о травинку.

С лапки тапочка упала и куда-то запропала.

Тапку мышка не нашла и без тапочки пошла.

Сколько тапочек осталось у мышки?

Мышка зерна собирала, по 2 зернышка таскала.

Принесла уж 9 раз. Каков у мышки стал запас?

На двух малютках-яблоньках росли четыре яблока.

В три раза больше на одной. А сколько яблок на другой?

В 9 сели в электричку мы на станции «Пески»,

А в 12, как обычно, прибыли на «Василики».

Сколько времени в пути были мы? Ответ найди.

Мы не возьмемся в этой работе описывать все виды внеучебных математических задач, остановимся на рассмотренных выше. Укажем лишь, что учителю следует помнить при подборе заданий для проведения внеклассной работы по математике, насколько важно облечь математический вопрос в интересную для учащихся форму или внести в решение задачи такое незначительное, но любопытное затруднение, которое могло бы приучить детский ум к самостоятельности, или, наконец, предложить трудную на первый взгляд задачу, но решающуюся легко и неожиданным образом.

Таким образом, изучив учебно-методическую литературу по проблеме организации внеклассной работы по математике, можем сделать следующие выводы:

Учащиеся начальных классов наиболее нуждаются в том, чтобы их первоначальное и последующее знакомство с математическими истинами носило не сухой характер, а порождало бы интерес и любовь к предмету, развивало бы в учащихся способность к правильному мышлению, острый ум и смекалку и тем самым вносило бы оживление в преподавание предмета.

Не стоит умалять значения внеклассной работы по математике в начальной школе, ведь именно в этом возрасте ребенок определяет свое отношение к предметам школьного курса. Внеклассная же работа по математике позволит привить ученикам интерес к предмету, поддерживать и культивировать его, развивать общие и творческие способности и, конечно же, математические, компоненты которых как раз и формируются наиболее активно в этом возрасте.

Внеклассная работа имеет некоторые особенности, которые учителю необходимо учитывать, чтобы эффективность проводимой им работы была максимальной.

Формы внеклассной работы по математике очень разнообразны, учителю, проводящему внеклассную работу систематически, можно их комбинировать.

Внеклассная работа зависит от индивидуальных интересов учителя, его опыта, вкусов, особенностей учеников каждого конкретного класса. Однако при проведении той или иной формы внеклассной работы по математике, учителю необходимо учитывать некоторые методические рекомендации.

Разработанные нами и предложенные авторами методических пособий материалы могут быть использованы учителями при проведении различных форм внеклассной работы, или взяты за основу собственных разработок.

А рассмотренные нами требования к внеучебным математическим задачам, как и указание их основных видов, помогут учителю самому методически грамотно подобрать задания для проведения внеклассной работы по математике в своем классе.

Глава 3. Анализ опытно-экспериментальной работы

Похожие работы

Математические игры как средство развития познавательного интереса учащихся

Скачать

131068

4

7

... но все они сходятся в одном, что игра является способом развития личности, обогащения ее жизненного опыта. -   Из всего многообразия игр можно выделить математическую игру, как средство развития познавательного интереса учащихся к математике. Использование математической игры во внеклассной работе по математике наиболее эффективно способствует возникновению интереса у учащихся к математике. -   ...

Психолого-педагогическое обоснование внеклассной работы по математике

Скачать

113174

0

0

... говоря о том, что некоторые виды технических средств обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения. Олимпиада одна из основных форм организации внеклассной работы по математике. Термин «олимпиада» проявился давно, хотелось бы вспомнить об истории отечественной математической олимпиады. Сначала о ней говорили в единственном числе, поскольку она организовывалась ...

Активизация мыслительной деятельности учащихся на уроках математики в начальной школе

Скачать

107196

22

14

... уроки сказки, веселые задачи в стихах, математические загадки, сказочные задачи, математические сказки, задачи занимательного характера, головоломки, кроссворды и логические задачи способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках математики, подтвердилась. Для себя лично я усвоила правило: "Не бери игру на урок, для того чтобы развлечься. Все на уроке должно быть логически ...

Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Скачать

53712

10

2

... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...