Раскрытие скобок в выражении: expand ()

3. Раскрытие скобок в выражении: expand ()

Команда expand () представляет произведение в виде суммы, т.е. раскрывает скобки в алгебраическом выражении. Она выполняется для любого полинома. Для частного двух полиномов (рациональная алгебраическая дробь) эта команда раскрывает скобки в числителе и делит каждый член полученного выражения на знаменатель, с которым она не производит никаких преобразований.

Эта команда имеет следующий синтаксис: ехраnd (выр, вырl, выр2,…, вырn); где выр является выражением, в котором необходимо раскрыть скобки, а необязательные параметры вырl, выр2, вырn указывают системе, что в данных выражениях в заданном преобразуемом выражении выр раскрывать скобки не надо.

Пример 5. Представление произведений в виде суммы.

> expand((x+3)*(x+4)^2);

 

> expand((x+3)^3/(x+4)^2);

 

> expand (cos(x-y));

 

> expand((x+3)*(x+4)^2, x+3);

 

> expand (x^((a+b)*(k+f)));

 

4. Разложение полинома на множители: factor ()

Команда factor () разлагает на множители полином от нескольких переменных. Под полиномом в Maple понимается выражение, содержащее неизвестные величины. Каждый член в этом выражении представлен в виде произведения целых неотрицательных степеней неизвестных величин с числовым или алгебраическим коэффициентом, т.е. коэффициент может быть целым, дробным, с плавающей точкой, комплексным числом и даже представлять собой алгебраическое выражение с другими переменными:

> factor (x^3*y‑2*x^2*a*y+x*y*a^2‑x^3*b^2+2*x^2*b^2*a-x*b^2*a^2+x^2*y^2–2*x*y^2*a+y^2*a^2‑y*b^2*x^2+2*y*b^2*x*a-y*b^2*a^2);

 

Следует помнить правило: команда раскладывает полином на множители над числовым полем, которому принадлежат коэффициенты полинома. Если все коэффициенты целые, то и в получаемых сомножителях будут только целые коэффициенты и не обязательно будут получены линейные сомножители. Второй необязательный параметр этой команды указывает, над каким числовым полем следует осуществлять разложение полинома. Он может иметь значение real, complex, а также один радикал или список / множество радикалов. Пример 6 демонстрирует результаты разложения одного и того же полинома над разными полями.

Пример 6. Разложение полинома над разными полями.

> factor (x^3+2); #над полем целых чисел (целые коэффициенты)

> factor (x^3+2.0); #над полем вещественных чисел

(вещественный коэффициент)

> factor (x^3+2, real); #над полем вещественных чисел

(параметр real)

> factor (x^3+2, complex); #над полем комплексных чисел

(параметр complex)

> factor (x^3+2,2^(1/3)); #над полем целых и радикала 2^(1/3)

(параметр определяет поле с радикалом)

Если применить команду factor () к алгебраической рациональной дроби (отношение двух полиномов), то сначала будет осуществлено приведение дроби к нормальной форме (сокращение общих множителей числителя и знаменателя), а после этого и числитель, и знаменатель раскладываются на множители (с учетом поля коэффициентов):

> d:=(x^11‑y^11)/(x^6‑y^6);

 

> factor(d);

 

5. Сокращение алгебраической дроби: normal ()

Команда normal () приводит выражение, содержащее алгебраические дроби, к общему знаменателю и упрощает полученную алгебраическую дробь, сократив и числитель, и знаменатель на наибольший общий делитель. Команда имеет две формы вызова: normal (f); normal (f, expanded); где f – алгебраическая дробь, а параметр expanded указывает на то, что после сокращения дроби в числителе и знаменателе раскрываются скобки.

Пример 7. Сокращение алгебраических дробей.

> f:=1/x+1/(x+1)^2+1/(x+1);

> normal(f);

Если параметр f задан в виде списка, множества, последовательности, ряда, уравнения, отношения или функции, то команда normal () последовательно применяется к компонентам f. Например, для уравнения это означает, что процедура сокращения применяется и к правой, и к левой части уравнения. В случае ряда, это означает, что упрощаются коэффициенты ряда, а в случае выражения с несколькими функциями, аргументы которых представлены алгебраическими дробями, процедура сокращения применяется к аргументу каждой функции:

> s:=sin (x/(x+1) – x)^2+cos (-x/(x+1)+x);

> normal(s);

> normal (1/x+y=x/y+(3*y)/x);