Приведение нескольких членов выражения к одному: combine ()

6. Приведение нескольких членов выражения к одному: combine ()

Назначение команды combine () – привести несколько членов в выражении, представленном суммой, произведением или степенями неизвестных, к одному члену, используя разнообразные правила. Эти правила, по существу, противоположны правилам, применяемым командой expand (). Например, рассмотрим известное тригонометрическое соотношение: sin (а+b) = sin(a) cos(b) +cos(а) sin(b).

Команда expand () использует его слева направо, тогда как команда combine () действует наоборот:

> expand (sin(a+b));

> combine (sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b));

Однако рассмотрим еще один пример:

> g:=sin (a+b)^2;

> s:=expand(g);

> f:=combine(s);

Как видно из примера, команда combine () преобразовала выражение s не к исходному выражению g, которое мы раскрыли функцией expand (). Это происходит потому, что Марlе осуществляет приведение членов выражения по своим внутренним алгоритмам, которые завершаются, как только получилось (или не получилось) представление в соответствии с идеологией команды combine (). В нашем примере – представление через тригонометрическую функцию с аргументом, являющимся линейной комбинацией аргументов тригонометрических функций преобразуемого выражения. Если мы хотим получить исходный вид выражения g, то следует воспользоваться командой подстановки subs (), параметры которой определяют, что на что следует заменить в выражении:

> subs (cos(2*a+2*b)=-2*sin (a+b)^2+1, f);

Команда combine () «знакома» с практически всеми правилами преобразования элементарных математических функций. Если вторым ее параметром задать одно из следующих имен:

abs exp piecewise Psi Signum

arctan icombine polylog radical trig

conjugate ln power range

которые соответствуют используемым в Maple функциям, то при преобразовании выражения будут использоваться только правила преобразования соответствующих функций. Для функций, правила преобразования которых зависят от значения их аргументов (arctan) или которые имеют ограничения на значения аргументов (ln, radical), можно задать третий параметр symbolic, который будет предписывать функции combine () не обращать внимания на интервалы изменения аргументов подобных функций, а осуществлять формальные символические преобразования в соответствии с формулами преобразования этих функций.

7. Приведение подобных членов: collect ()

Команда collect () работает с полиномами, в которых в качестве неизвестных могут выступать функции с аргументами, являющимися неизвестными величинами Maple. Команда имеет три формы вызова:

collect (выражение, х);

соllесt (выражение, х, form, func);

соllесt (выражение, x, func);

где параметр х представляет имя неизвестной величины, относительно степеней которой осуществляется приведение коэффициентов. Параметр х может быть также списком или множеством неизвестных в случае полинома нескольких переменных или именем функции с аргументом-неизвестной в выражении, представленном первым параметром выражение.

Команда collect () различает не только целые, но и положительные и отрицательные дробные степени неизвестной, т.е. при всех степенях будут отдельно приведены подобные члены.

Пример 8. Приведение коэффициентов в выражении.

k:=x^3*sin(x)^2+x^3*cos(x)+x^3*exp(x)+x*cos(x)+2*x*exp(x)+7*x*sin(x)+4*x^3;

 

> collect (k, x);

 

> collect (k, x^3);

 

> collect (k, exp(x));

 

> collect (k, sin(x));

 

> collect (k, cos(x));

 

В примере 8 для одного и того же выражения осуществляется приведение коэффициентов относительно разных его неизвестных компонентов.

Параметр form применяется для полиномов от нескольких переменных и определяет алгоритм приведения подобных членов. Заметим, что неизвестные, при степенях которых приводятся подобные члены, должны быть заданы в виде списка или множества. Параметр form два значения: recursive и distributed. В первом случае приводятся подобные члены при степенях первой неизвестной в списке, затем в полученных коэффициентах приводятся подобные члены относительно степеней второй неизвестной в списке и т.д. Если при этом значении параметра form неизвестные полинома, относительно которых приводятся подобные члены, заданы в виде множества, то порядок приведения определяется системой Maple и может меняться от сеанса к сеансу. Значение distributed указывает на приведение коэффициентов при членах, содержащих всевозможные произведения степеней неизвестных в списке или множестве, причем суммарная степень всех переменных возрастает от наименьшей к наибольшей.

Пример 9. Алгоритмы приведения для полиномов нескольких переменных.

> p:=x*y-a^2*x*y+y*x^2‑a*y*x^2+x+a*x; #полином двух переменных

> collect (p, [x, y], recursive);

> collect (p, [y, x], recursive);

> collect (p, {x, y}, recursive);

> collect (p, {x, y}, distributed);

> collect (p, [x, y], distributed);

Параметр func определяет имя команды, применяемой к полученным в результате коэффициентам при соответствующих степенях неизвестных. Обычно используют команды simplify () и factor ().

Пример 10. Задание функции, применяемой к полученным коэффициентам.

> d:=a^4*y-y+a^4+a^2;

 

> collect (d, y);

 

> collect (d, y, factor); # разложение на множители коэффициентов при y