Квадратурні формули

2. Квадратурні формули.

2.1. Формула прямокутників.

Припустимо, що fÎC₂[-h/2,h/2], h>0 .

(2.1.1)

де f₀=f(0), тобто площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції f(x) , апроксимується площею прямокутника, висота якого дорівнює значенню f(x) в середній точці трапеції (мал. 2.1.1).

мал. 2.1.1. Формула прямокутників

Знайдемо залишковий член , тобто похибку формули (2.1.1) . Нехай

(2.1.2)

Тому що F(0)=0, F^/(0)=f₀, F^//(0)=f^/₀, F^///(x)=f^//₀,

то відповідно до формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа маємо

(2.1.3)

де x_- , x₊ - деякі точки , -h/x_-<x₊<h/2.

Функція F(x) є первісної для f(x). Тому для інтеграла, що стоїть в лівій частині наближеної рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбница з розрахунком (2.1.3) випливає наступне співвідношення

Ззвідси одержуємо формулу прямокутників із залишковим членом:

(2.1.4)

2.2. Формула трапецій.

Нехай fÎC₂[0,h], h>0

(2.2.1)

де f₀=f(0), f₁=f(h) тобто інтеграл  приблизно заміняється площею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1).

мал. 2.2.1. Формула трапецій.

Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (2.2.1). Виразимо f₁та F₁=F(h) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі (*):

(*)

 (2.2.2)

(2.2.3)

Згідно (2.2.1) маємо

(2.2.4)

Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf₀/2 і замінивши його вираженням (2.2.4), з урахуванням того, що

 знаходимо

Перетворимо тепер другий доданок у правій частині, використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що (h-t)t³0, tÎ[0,t] то за теоремою

де xÎ[a,b] - деяка точка . Підставляючи отримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом :

 (2.2.5)

2.3. Формула Сімпсона .

Припустимо, що fÎC₄[-h,h]. Тоді інтеграл

наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійної трапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (-h,f_-1), (0,f₀), (h,f₁), де f_i=f(ih) (мал. 2.3.1)

мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона)

Зазначена парабола задається рівнянням

у цьому неважко переконатися, поклавши x=-h, x=0, x=h (її можна також одержати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другого ступеня і приводячи подібні ). Звідси знаходь

Таким чином, формула Сімпсона , називають також формулою парабол, має вид

 (2.3.1)

Покладемо F_±1=F(±h), де F функція (2.1.2). Оскільки F(0)=0, F^(k)(x)=

f^(k-1)(x), 1£k£5 то згідно формули Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі маємо

Звідси одержуємо

(2.3.2)

тому що інші члени взаємно знищуються.

Оскільки  , tÎ[0,h] то застосовуючи до інтеграла (2.3.2) узагальнену теорему про середнє, знаходимо

(2.3.3)

де hÎ[0,h], xÎ[-h,h] - деякі точки. Приймаючи до уваги, що

з (2.3.2), (2.3.3) приходимо до формули

 (2.3.4)

тобто до формули Сімпсона з залишковим членом.