Методи розв’язування задачі

1.2 Методи розв’язування задачі

Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

(1)

Систему (1) можна також записати так:

, і=1, 2, 3.

Тут - деякі задані числа, а x, y, z – невідомі, які потрібно знайти.

Як нам вже відомо, тройка чисел  називаються рішенням системи (1), якщо при підстановці їх в рівняння системи замість x, y і z вийдуть вірні числові рівності.

Розглянемо спочатку випадок, коли всі коефіцієнти рівнянь системи (1) рівні нулю:

 і=1, 2, 3.

В цьому випадку, якщо всі вільні члени рівнянь системи рівні нулю:

,

то очевидно, люба тройка чисел (x; y; z) являється розв’язком цієї системи. Якщо ж вільні члени рівнянь рівні нулю, то система не має рішень.

Розглянемо тепер більш цікавий випадок, коли не всі коефіцієнти рівнянь системи (1) рівні нулю. Нехай, наприклад, . Тоді система еквівалентна наступній:

Останнє рівняння цієї системи помножимо на  і вилучаємо почленно із першого рівняння, в результаті получимо рівняння

. (2)

Аналогічно, помножив останнє рівняння на  і вилучаючи почленно із другого рівняння будемо мати

. (3)

Очевидно, що система

 (4)

у якої перше рівняння виходить із (2), а друге із (3) множенням на, еквівалентна системі (1).

Таким чином, якщо 0, то дослідження системи (1) зводиться до дослідження системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

(5)

Розглянемо спочатку випадок, коли всі коефіцієнти рівнянь системи (5) дорівнюють нулю. Тоді, якщо вільні члени рівнянь системи (5) рівні нулю, то люба пара чисел (x;y) являється рішенням системи (5) і, отже, люба трійка чисел (x;y;z), де

,

являється рішенням системи (1). Якщо ж хоча б у одного із рівнянь системи (5) вільний член не дорівнює нулю, то система (5), то і система (1) не мають рішень.

Розглянемо випадок, коли не всі коефіцієнти рівнянь системи (5) рівні нулю. Нехай, наприклад,

Перше рівняння системи (5) помножимо на , друге – на -  і додамо; після очевидних перетворень отримаємо рівняння

де

 

Таким чином, якщо , то система (5) еквівалентна системі

Якщо , то очевидно, люба пара чисел (x;y), де

, (6)

являється рішенням системи (5).

Із (6) і останнього рівняння системи (4) знаходимо

 (7)

Аналогічно, якщо  і , то люба трійка чисел (x;y;z), де , а y та z знаходяться в формулах (6) і (7), являється рішенням системи (1).

Якщо , а , то система (5), а також і система (1) не мають розв’язків.

Нехай тепер . Тоді

.

Підставивши це значення х в друге рівняння системи (5), знайдемо

,

де

Підставивши отримані значення x і y в третє рівняння системи (4), отримаємо

,

де

.

Випливає, якщо , то система (1) має одне рішення, яке знаходиться за формулами:

.

Ці формули і називаються формулами Крамера.