2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
Пусть корень x уравнения отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня
,
то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим
, (1)
где считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим:
.
Следовательно,
.
Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня
. (2)
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что при и (рисунок 1).
Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой в точке B0 с координатами .
Рисунок 1. Геометрически показан метод Ньютона
В качестве первого приближения корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня x и т.д.
Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника , образованного касательной, проведенной в точке B0, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки .
Имеем
.
Так как угол a образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.
.
Тогда
или для любого шага n
.
В качестве начальной точки можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие
,
т.е. функция и ее вторая производная в точке должны быть одного знака.
В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия
.
Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента . В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях:
.
При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений для корня x. Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление можно оформить в виде функций.
... в широкую практику разработки программ объектно-ориентированного программирования, впитавшего в себя идеи структурного и модульного программирования, структурное программирование стало фактом истории информатики. Билет № 9 Текстовый редактор, назначение и основные функции. Для работы с текстами на компьютере используются программные средства, называемые текстовыми редакторами или текстовыми ...
0 комментариев