Недостатки метода

2.2 Недостатки метода

Пусть

.

Тогда

.

Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится, и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным.

Рисунок 2. Иллюстрация расхождения метода Ньютона, примененного к функции  с начальным приближением в точке

Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Пусть

.

Тогда  и следовательно . Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4.

Условные обозначения:

· FUNCTN, FX – функция;

· DFUNCTN, DFDX – производная функции;

· A – рабочая переменная;

· START, X0 – начальное значение;

· PRES, E –точность вычисления.

Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для поиска корня уравнения методом Ньютона

Рисунок 4 – Блок-схема решения задачи для функции NEWTOM

4. Программная реализация решения задачи

Файл FUNCTION.txt (Пример 1)

;ФУНКЦИЯ COSX - X3

(DEFUN F(X)

(- (COS X) (* X X X))

)

;ПРОИЗВОДНАЯ -sinx-3x2

(DEFUN DFDX (X)

(- (* -1 (SIN X)) (* 3 X X))

)

(SETQ X0 0.5)

(SETQ E 0.0001)

Файл FUNCTION.txt (Пример 2)

;ФУНКЦИЯ x-cosx

(DEFUN F(X)

(- X (COS X))

)

;ПРОИЗВОДНАЯ 1+sinx

(DEFUN DFDX (X)

(+ 1 (SIN X))

)

(SETQ X0 -1)

(SETQ E 0.0001)

Файл FUNCTION.txt (Пример 3)

;ФУНКЦИЯ X2+2X

(DEFUN F(X)

(+ (* X X) (* 2 X))

)

;ПРОИЗВОДНАЯ 2X+2

(DEFUN DFDX (X)

(+ 2 (* 2 X))

)

(SETQ X0 -2.3)

(SETQ E 0.0001)

Файл NEWTON.txt

;ПОДГРУЖАЕМ ФУНКЦИЮ

(LOAD "D:\\FUNCTION.TXT" )

;РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА

(DEFUN NEWTOM (START PRES FUNCTN DFUNCTN)

;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

(DECLARE (SPECIAL X))

(DECLARE (SPECIAL A))

;ЗАДАЕМ НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

(SETQ X START)

(SETQ A (/ (FUNCALL FUNCTN X) (FUNCALL DFUNCTN X)))

(LOOP

(SETQ X (- X A))

(SETQ A (/ (FUNCALL FUNCTN X) (FUNCALL DFUNCTN X)))

;ЕСЛИ ДОСТИГЛИ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ВЫХОДИМ ИЗ ЦИКЛА

(IF (<= (ABS A) PRES) (RETURN X))

)

)

;ОТКРЫВАЕМ ФАЙЛ

(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:\KOREN.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

;ВЫЗЫВАЕМ МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РАСЧЕТА КОРНЯ

(SETQ KOREN (NEWTOM X0 E (FUNCTION F) (FUNCTION DFDX)))

;ВЫВОДИМ КОРЕНЬ В ФАЙЛ

(PRINT 'KOREN OUTPUT_STREAM)

(PRINT KOREN OUTPUT_STREAM)

;ЗАКРЫВАЕМ ФАЙЛ

(TERPRI OUTPUT_STREAM)

(CLOSE OUTPUT_STREAM)

5. Пример выполнения программы

Пример 1.

Рисунок 5 – Входные данные.

Рисунок 6 – Выходные данные.

Пример 2.

Рисунок 7 – Входные данные.

Рисунок 8 – Выходные данные.

Пример 3.

Рисунок 9 – Входные данные.

Рисунок 10 – Выходные данные.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель нахождения корней уравнения методом Ньютона. Данная модель может быть использована для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы

1.         Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.

2.         Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

3.         Калиткин, Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. – М.: Питер, 2001. С. 504.

4.    Метод Ньютона – Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Ньютона

5.         Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.

6.         Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.

7.         Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.

8.         Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.