В плане ПФЭ 22 сумма квадратов элементов любого столбца

3. В плане ПФЭ 22 сумма квадратов элементов любого столбца

,

Поэтому для планов ПФЭ 2n

.

Таким образом, с помощью планов ПФЭ 2n можно определить свободный член уравнения b0, коэффициентов bi, коэффициентов при различных взаимодействиях двух факторов bij , коэффициентов тройных взаимодействий факторов bijk , ….., коэффициент b12…n. максимального взаимодействия факторов. Общее число определяемых коэффициентов

.

План ПФЭ 2n может являться насыщенным, при выборе числа членов уравнения m+1=N, ненасыщенным, при выборе числа членов уравнения и соответственно числа столбцов плана m+1<N . План ПФЭ 2n является также рототабельным, так как все точки плана лежат на окружности (сфере, гиперсфере) с радиусом относительно центра плана.

Для плана ПФЭ 23 число факторов n = 3. Выполняется N = 23 = 8 опытов. Уравнение может содержать до восьми членов

.

Таким образом формируется план из восьми строк и восемь столбцов. В четвертом столбце (i=3) записываются единицы с чередующимися знаками через четыре элемента. План составляется аналогичным образом плану ПФЭ 22.

Столбцы, обведенные утолщенной рамкой, образуют план эксперимента. Столбцы, не обведенные утолщенной рамкой, при проведении опытов носят вспомогательный характер. Геометрическое отображение плана ПФЭ 23 с указанием номеров точек плана в факторном пространстве представлено на рис. 8. Точки плана располагаются в вершинах куба.

Рис. 8. Геометрическое отображение плана ПФЭ 23 в факторном пространстве

Пример применения плана ПФЭ 22. Пусть в результате проведения экспериментов по плану ПФЭ 22, то есть при изменении двух факторов, мы получили опытные значения Y1, Y2, Y3, Y4. Поверхность, уравнение которой нас интересует, имеет вид рис. 9.

Рис. 9. Поверхность функции отклика

Составляем план ПФЭ 22.

Вначале найдем коэффициенты сокращенного линейного полинома вида

и результаты вычислений по нему.

Рассчитываем коэффициенты полинома.

;

;

Полином имеет вид

.

Результаты расчета по нему приведены в соответствующем столбце плана. Наблюдаются расхождения между Y и . Если точность сокращенного полинома не удовлетворяет, то по тем же результатам опытов можно сформировать более полный полином вида.

При этом ранее определенные коэффициенты остаются без изменений. Определим коэффициент при дополнительном члене полинома

.

Полином имеет вид

.

Результаты расчета по нему приведены в соответствующем столбце плана. Наблюдаются расхождения между Y и . Если точность сокращенного полинома не удовлетворяет, то по тем же результатам опытов можно сформировать более полный полином вида

.

При этом ранее определенные коэффициенты остаются без изменений. Определим коэффициент при дополнительном члене полинома

.

Полином имеет вид

.

По нему рассчитываем предсказанные значения отклика в точках плана (столбец ). Поверхность, построенная по полученному полиному, проходит точно через четыре точки плана (=0), по которым определены коэффициенты. Однако в других точках области определения функции, например в центре плана (точка 5 в плане, х1=0, х2=0), предсказанные и действительные значения, могут не совпадать (=3).

Лекция 5. Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ)

При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести (n > 6), число опытов планов ПФЭ 2n (N = 2n) становится чрезмерным. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ) – части полного факторного эксперимента. Так, например, если требуется определить лишь коэффициенты при самих факторах

,

то план ПФЭ 2n дает избыточную информацию. Так при , в этом случае требуется определить коэффициентов, тогда как по плану ПФЭ необходимо провести N = 26 =64 опыта.

Хотя эта избыточная информация не является бесполезной, она позволяет более точно определить коэффициенты, но все же часто используют планы ДФЭ 2n-k , где k – показатель дробности плана ПФЭ. При k = 1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем в плане ПФЭ, поэтому такие планы называют полуреплика плана ПФЭ. Так при k=1 для плана ДФЭ 26-1 N =26-1 = 32, при k=2 для плана ДФЭ 26-2 N =26-2 = 16 и такой план называют четвертьрепликой, при k=3 для плана ДФЭ 26-3 N =26-3 = 8. При выборе дробности плана k необходимо учитывать, что число опытов должно быть больше числа членов уравнения. В рассматриваемом случае величина k должна быть такой, что бы удовлетворялось условие

.

План ДФЭ строится, как и для плана ПФЭ, но с меньшим числом факторов. Оставшиеся факторы варьируются не произвольно, а так чтобы сохранялась ортогональность плана. Это обеспечивается, если оставшиеся факторы варьируются по выбранному генерирующему соотношению, например как произведение каких-либо факторов из первой группы. Но это приводит к тому, что в матрице Х будут существовать одинаковые столбцы. Следовательно, мы не сможем найти в чистом виде все коэффициенты неполного квадратичного полинома, а лишь определим совместную величину коэффициентов для одинаковых столбцов.

Рассмотрим построение плана ДФЭ 23-1 . Здесь n = 3, к =1, N=23-1=4. Первые два фактора варьируем как и ранее для плана ПФЭ 22, а для третьего фактора выбираем генерирующее соотношение в виде .

Для неполного квадратичного полинома количество столбцов плана составляет восемь.

План является ортогональным, но в нем оказались четыре пары одинаковых столбцов. Поэтому можно определить только четыре коэффициента, отражающие совместные влияния двух одинаковых столбцов

.

Суммарные значения коэффициентов ; ; определяются аналогично. Это следствие того, что мы пытаемся определить полное количество коэффициентов – 8 по недостаточному числу опытов - 4. Однако, если заранее известно, что некоторые из членов уравнения равны нулю (пренебрежимо малы) или имеется априорная информация о величинах некоторых коэффициентов, то полученные коэффициенты могут быть вычленены. Так если , то

.

Если можно допустить, что коэффициенты из их смешанной оценки сопоставимы, то для рассмотренного плана

.

Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23-1 в факторном пространстве (для трех факторов - трехмерное пространство) представлено на рис. 10. План ПФЭ 23 представлен кубом с восемью узлами (точками плана), а возможные планы ДФЭ 23-1 – проекциями этого куба на три плоскости. То есть из восьми узлов выбираются четыре (рис. 10, а). Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и сформировать план ДФЭ 23-1 (рис. 10, б).

Рис. 10. Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23-1 в факторном пространстве

Планы ДФЭ, как и планы ПФЭ, являются рототабельными. Планы ДФЭ могут быть как насыщенными так и ненасыщенными.

Достоинство планов ДФЭ заключается и в том, что если построенный на его основе неполный полином не удовлетворяет требованиям по точности, то план ДФЭ легко достраиваются до плана ПФЭ, без потери информации прежних опытах, с формированием более точного полинома.

Пример построения плана ДФЭ.

Построить план ДФЭ 24-1 и определить полином

Число факторов – 4. Нужно найти 8 коэффициентов полинома. Выбираем 8 из 16 опытов плана ПФЭ 24 таким образом, чтобы были определены независимые коэффициенты при самих факторах, смешанные коэффициенты при парных сочетаниях факторов и в пренебрежении тройными и четверным сочетаниями факторов и при этом сохранялась ортогональность плана.

Такой выбор позволяет сформировать план ДФЭ 24-1 как и план ПФЭ 23 , но с х4=х1х2х3 . План ДФЭ 24-1 представляется в виде

Значения коэффициентов полинома составляют:

.

;

;

;

Если принять, что

,

,

,

то полином имеет вид

.

Значения полинома в точках плана приведены в последнем столбце плана ДФЭ 24-1. В нашем случае точность его достаточно высокая.

Лекция 6. Насыщенные планы первого порядка

Насыщенным планом первого порядка – называется план, содержащий n+1 точку (опыт). Например, при n = 4, N=n + 1 = 5.

То есть полином формируется в виде

.

Таким образом, насыщенный план – это предельно минимальный случай плана ДФЭ. Такие планы называются симплекс-планы. Для симплекс-плана при n = 1 N = 2 его геометрическое изображение представлено на рис. 11, а; при n=2, N=3 – на рис. 11, б; при n=3, N=4 – на рис. 11, в. Симплекс-планы обычно используются на стадии предварительного исследования.

Рис. 11. Симплекс-план для n=1, N=2 (а); n=2, N=3 (б); n=3, N=4 (в)

Симплекс-план не всегда является ортогональным. Симплекс-план называется правильным, если расстояние между двумя любыми точками плана одинаковое. Симплекс-план называется центрированным, если

,

для i=1, 2, …, n .

Применимость планов ПФЭ и пути повышения точности полиномов.

По каким же признакам можно судить о допустимости использования неполного квадратичного полинома, построенного на основе планов ПФЭ 2n?

Такие полиномы дают поверхность отклика, которая проходит точно через все экспериментальные точки, по которым определяются коэффициенты. Так как точки планов ПФЭ располагаются на границах диапазонов варьирования факторов, то это означает, что поверхность отклика проходит через граничные точки. В любом сечении поверхности отклика, полученной по такому полиному, плоскостью при фиксированных всех факторах кроме одного и параллельной оси Y получается след в виде прямой линии.

Возможны случаи, когда реальная поверхность отклика определяется полиномами второго и выше порядков В этом случае поверхность плана ПФЭ, совпадая с реальной поверхностью в граничных точках, может отличаться в других точках факторного пространства, например в центральной точке плана, т.е. . Поэтому одним из признаков неудовлетворительной аппроксимации полиномами по плану ПФЭ является расхождение результатов функции отклика с реальной функцией в центральной точке плана.

Однако при многофакторном эксперименте возможны случаи, когда в реальности функция отклика зависит, в том числе, от квадратов факторов, у которых коэффициенты имеют разные знаки, например, для “седловидной” поверхности. При этом, несмотря на то, что эта поверхность явно нелинейная, результат опыта в центральной точке может оказаться достаточно близким к полученному результату по неполному квадратичному полиному плана ПФЭ. Однако расхождения будут возникать во всех других точках плана эксперимента. Поэтому нецелесообразность использования плана ПФЭ определяется нелинейностью каких-либо сечений поверхности отклика. Косвенным признаком может служить расхождение и в центральной точке плана.

Если не удается получить полином по плану ПФЭ, хорошо аппроксимирующей реальную поверхность, то какие пути можно предложить для повышения точности полиномов?

Уменьшение диапазона варьирования факторов или его разбиение на поддиапазоны, для каждого из которых строится свой план ПФЭ и определяется свой полином. Путь достаточно трудоемок, но погрешность семейства планов ПФЭ снижается.

Выделение фактора, порождающий нелинейность, и построение для оставшихся n–1 факторов k планов ПФЭ, в каждом из которых выделенный фактор зафиксирован при некотором значении. На основе полученных k полиномов можно попытаться сформировать общий полином, коэффициенты которого являются функциями выделенного фактора. Этот путь также достаточно трудоемок.

Переход к плану ПФЭ с большим числом уровней варьирования факторов, например к планам с варьированием факторов на трех уровнях - планам ПФЭ 3n (рис. 12). В этом случае происходит резкое увеличение количества точек по сравнению с планом ПФЭ 2n . Так при n = 2 для ПФЭ 2n N=4, для ПФЭ 3n N=9; при n = 3 для ПФЭ 2n N=8, для ПФЭ 3n N=27; при n = 4 для ПФЭ 2n N=16, для ПФЭ 3n N=81 и т.д.

Рис. 12. Планы ПФЭ 32 (а) и ПФЭ 33 (б)

Достраивание планов ПФЭ 2n до планов более высокого порядка (чаще всего второго) и построение полных квадратичных полиномов (с наличием квадратов факторов).

Преобразование метрики матричного пространства, то есть переход к новым факторам функционально связанным с прежними факторами, но не порождающими нелинейности.

Лекция 7. Планы второго порядка

Они позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам первого порядка, и поэтому требуют большего числа выполняемых опытов. Полный квадратичный полином при n =2 содержит 6 членов

,

при n = 3 - 11 членов

Известно, что для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях.

Для планов второго порядка область планирования может:

Быть естественной, то есть включать область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (такие планы называются композиционными). Дополнительные точки могут выходить за область плана первого порядка – единичного гиперкуба. В этом случае опыты в них реализуются при установлении факторов за пределами варьирования. Это надо учитывать при определении области совместимости факторов.

Не выходить за пределы единичного гиперкуба, то есть для всех точек плана выполняется условие .

Не выходить за пределы единичного гипершара, определяемую соотношением таких значений факторов в плане, что .

Во втором и третьем случаях используют специальные приемы выполнения приведенных соотношений в плане. План с одной областью планирования можно перестроить в план другой областью планирования.

Если уже был ранее сформирован план ПФЭ, но точность его функции отклика не удовлетворяет, то мы можем достроить этот план до плана второго порядка (композиционный план) и сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, без потери информации о ранее сделанных опытах.

Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка

Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, что бы матрица С=ХtХ оказалась диагональной. Используем этот подход и при построении планов второго порядка. План называется центральным, если все точки расположены симметрично относительно центра плана. ОЦКП – центральный симметричный ортогональный композиционный план.

В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с N0= 2n точками плана, n0 (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора

.

– плечо “звездных” точек.

При этом в каждой плоскости, содержащей ось Y и координатную ось i-того фактора (проходящей через центр плана), оказываются три значения фактора хi и три соответствующих значения Y.

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет

,

где для ОЦКП n0=1.

При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3n .

Число точек в плане

n	2	3	4	5	6
ОЦКП	9	15	25	43	77
ПФЭ 32	9	27	81	243	729

Графическое представление ОЦКП для n=3 приведено на рис. 13.

Рис. 13. ОЦКП при n=3

Для ортогонального плана необходимо, чтобы выполнялось соотношение

.

Так как , то для столбцов j=1, 2,…., m+1 должно выполняться условие

.

Это означает необходимость выполнения требования, чтобы сумма элементов любого столбца (кроме j=0), включая столбцы, соответствующие квадратам фактора, должна быть равна нулю. Это возможно, если члены столбцов, соответствующих квадратам факторов, преобразованы, иначе сумма квадратов факторов не может быть равна нулю.

Преобразование элементов этих столбцов осуществляется в виде

,

где а – величина, зависящая от числа факторов.

Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов

.

Откуда

.

В общем случае ортогональный центрально-композиционный план при трех (n) факторов имеет следующий вид

В ОЦКП каждый фактор фиксируется, в общем случае, на пяти уровнях (-, -1, 0, 1, +).

Для определения неизвестных “а” и “” нужно сформировать и решить систему из двух уравнений. Одно из них для “а” мы записали раннее. Другое уравнение получим из условия ортогональности для столбцов и

.

После простейших преобразований с учетом того, что – общее число опытов в плане, получаем соотношение

.

Соотношение для а при j=1, 2 или 3 может быть записано как (см. план)

.

Подставив его в последнее уравнение получаем

,

откуда константа преобразования а

.

Тогда

и плечо звездных точек

.

Например, для ОЦКП при числе факторов n=3 имеем следующие параметры плана

,

,

.

Сам план принимает вид

Очевидно, что план является ортогональным. В отличие от планов ПФЭ для ОЦКП сумма квадратов факторов разных столбцов не является одинаковой.

По результатам опытов плана формируется полином

.

Коэффициенты полинома определяется как

.

Можно преобразовать полином к виду

,

где

.

Значения параметров ОЦКП при числе факторов n

При n =2 ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 23. Звездные точки ОЦКП в этом случае лежат на границах варьирования факторов. Если точки плана ПФЭ 2n всегда лежат на окружности (поверхности шара, гипершара), то точки плана ОЦКП не лежат на какой-либо одной окружности (поверхности шара, гипершара). План ОЦКП не является насыщенным. Так, например, для n = 3 полином имеет одиннадцать членов со своими коэффициентами, но для их определения используются пятнадцать опытов.

Пример плана ОЦКП для n = 2.

Параметры плана N0=4, N=9, = 1, а = 2/3, 1-а=1/3, -а=-2/3, .Использован рассмотренный ранее план ПФЭ 22 с добавленными опытами 5-9.

Коэффициенты полинома составляют

;

;

;

;

;

.

Полином принимает вид

(Ранее по плану ПФЭ 22 был сформирован полином

Рассчитанные значения по полиному приведены в плане. Также приведены величины , подтверждающие достаточно высокую точность полинома. Так в центральной точке плана, в отличие от случая применения плана ПФЭ 22, расхождений нет.

Лекция 8. Рототабельные планы

Рототабельные планы – это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах). У рототабельного плана первого порядка точки плана располагаются на одной окружности (сфере, гиперсфере) с радиусом R

,

где V=1,…, N - номер точки плана, i =1,…, n – номер фактора.

В таком случае точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая.

Рототабельный план может быть симметричным, когда точки плана располагаются симметрично друг друга. Рассмотренный ранее план ПФЭ 2n – рототабельный симметричный план первого порядка.

У рототабельных планов второго порядка точки плана располагаются на двух концентрических гиперсферах с радиусами R1 и R2 . В таких планах

,

для V =1,…, N0 и

,

для W=1,…, n0,

где V и W – текущие номера точек плана в двух подмножествах опытов N0 и n0 из их общего количества N, относящихся к двум разным концентрическим сферам. Одна из сфер может быть вырожденной, когда R2=0. Рассмотренный ранее ортогональный центрально-композиционный план второго порядка (ОЦКП) не является рототабельным планом, так как его точки лежат на трех концентрических окружностях (сферах, гиперсферах). При n=2 это очевидно из рис. 14. “Звездные” точки плана и точки плана ПФЭ 2n лежат на разных окружностях.

Рис. 14. Расположение точек ОЦКП на трех окружностях

Рототабельный план может быть ортогональным, если выполняется условие

,

где , , , - номера столбцов плана.

Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план

Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план (РОЦКП) строится аналогично рассмотренному ранее ОЦКП. К использованному в качестве ядра плану ПФЭ 2n добавляются “звездные” точки - по две на каждый фактор и несколько точек в центре плана. “Звездные” точки должны располагаться на поверхности гиперсферы с радиусом R, на которой лежат и точки плана ПФЭ 2n, то есть величина плеча “звездных” точек должна равняться радиусу R. Это может быть обеспечено, при выполнении условия ортогональности, только при соответствующем выборе числа наблюдений в центральной (нулевой) точке плана n0. Для РОЦКП n0 зависит от числа факторов n. Напомним, что в ОЦКП n0 = 1 для любого числа n.

Радиус сферы, на которой лежат точки плана ПФЭ 2n при двух уровнях варьирования факторов с диапазоном