Двійкові системи числення

2. Двійкові системи числення

При виконанні різних операцій в сучасних цифрових системах числа зазвичай представляються в двійковій системі числення, підставою якої є число 2. При цьому ціле к-розрядне десяткове число записується у вигляді n-розрядного двійкового числа :

==,

де =0, 1, … , 9 – цифра в i-му розряді десяткового числа

=0 або 1 – цифра в j-му розряді двійкового числа.

Введенням негативних ступенів числа 2 представляються дробові числа.

Таким чином, в двійковому численні будь-який розрахунок можна представити двома числами: 0 і 1. Для представлення цих чисел в цифрових системах досить мати електронні схеми, які можуть приймати два стани, що чітко розрізняються значенням якої-небудь електричної величини, - потенціали або струм. Одному із значень цієї величини відповідає цифра 0, іншому 1. Відносна простота створення електронних схем з двома електричними станами і привела до того, що двійкове представлення чисел домінує в сучасній цифровій техніці. При цьому 0 зазвичай представляється низьким рівнем потенціалу, а 1 - високим рівнем. Такий спосіб уявлення називається позитивною логікою.

Переклад десяткового числа в двійковий код можна здійснювати шляхом послідовного ділення числа на 2. Залишки ( 0 або 1 ), що виходять на кожному кроці ділення, формують двійковий код перетворюваного числа, починаючи з його молодшого розряду. Як старший розряд двійкового коду записується 1, отримана в результаті останнього кроку ділення. Наприклад, перетворення числа 109 у двійковий код виконується таким чином:

: залишки 109 2

=1 54 2

=0 27 2

=1 13 2

=1  6  2

=0  3  2

=1  1

=

=109===1101101

Зворотне перетворення виконується таким чином:

=

Цифрові системи оперують дійсними, цілими і дробовими числами, які можуть мати дві форми уявлення: з плаваючою комою, з фіксованою комою.

При використанні плаваючої коми число складається з двох частин: мантиси m, що містить значущі цифри числа, і порядку p, що показує ступінь, в який треба звести основу числа q, щоб отримане при цьому число, помножене на мантису, давало дійсне значення числа, що представлялося:

Мантиса і порядок представляються в двійковому коді. Звичайне число дається в нормалізованому вигляді, коли його мантиса є правильним дробом, причому перша значуща цифра ( одиниця ) слідує безпосередньо після коми: наприклад,  де m=0,1010; p=10; q=2

При використанні фіксованої коми число представляється у вигляді єдиного цілого, причому положення коми у використовуваній розрядній сітці жорстко фіксоване. Зазвичай числа з фіксованою комою даються у вигляді правильного дробу. Для цього всі числа множать на масштабний коефіцієнт, щоб перевести їх в правильний дріб. Цифрові системи, що використовують числа з плаваючою комою, складніше за системи, що використовують числа з фіксованою комою, оскільки при цьому потрібне виконання операцій як над мантисами, так і над порядками. Проте діапазон чисел, що представляються, при однаковому числі розрядів в системах з плаваючою комою значно більше.

Для представлення знаку числа використовується знаковий розряд z, який зазвичай розташовується перед числовими розрядами. Для позитивних чисел значення знакового розряду z=0, для негативних чисел z=1. Для чисел з плаваючою комою вводяться окремі знакові розряди для мантиси і для порядку чисел.

Оскільки 2³=8, а 2⁴=16 , то кожних три двійкових розряди зображення числа утворюють один вісімковий, а кожних чотири двійкових розряди - один шістнадцятковий. Тому для скорочення запису адрес та вмісту оперативної пам'яті комп'ютера використовують шістнадцяткову й вісімкову системи числення.

3. Інші системи числення

При налаштувані апаратних засобів (програм BIOS і т.д.) і написанні нових програм (особливо на мовах низького рівня типу асемблера або C) часто виникає необхідність заглянути в пам'ять машини, щоб оцінити її поточний стан. Але там все заповнено довгими послідовностями нулів і одиниць, дуже незручних для сприйняття. Крім того, природні можливості людського мислення не дозволяють оцінити швидко і точно величину числа, представленого, наприклад, комбінацією з 16 нулів і одиниць. Для полегшення сприйняття двійкового числа вирішили розбити його на групи розрядів, наприклад, по три або чотири розряди. Ця ідея виявилася вдалою, оскільки послідовність з 3 біт має 8 комбінацій, а послідовність з 4 бітів -16 комбінацій. Числа 8 і 16 - ступені двійки, тому легко знаходити відповідність між двійковими числами. Розвиваючи цю ідею, прийшли до виводу, що групи розрядів можна кодувати, скоротивши при цьому послідовність знаків. Для кодування трьох бітів (тріад) потрібно 8 цифр, і тому взяли цифри від 0 до 7 десяткової системи. Для кодування чотирьох бітів (тетрад) необхідно 16 знаків, і взяли 10 цифр десяткової системи і 6 букв латинського алфавіту: A,B,C,D,E,F. Отримані системи, що мають в основі 8 і 16, назвали відповідно вісімковою і шістнадцятковою.

Вісімкові і шістнадцяткові системи числення:

У таблиці приведені числа в десятковій, вісімковій і шістнадцятковій системах і відповідні групи бітів в двійковій системі.

16-pазpядне двійкове число із знаковим розрядом можна представити 6-pозpядним вісімковим, причому старший байт в нім прийматиме значення лише 0 або 1. У шістнадцятковій системі таке число займе 4 розряди.

Переклад чисел з однієї системи числення в іншу:

Арифметичні операції над числами у вісімковій або шістнадцятковій системах проводяться по тих же правилах, що і в десятковій системі. Тільки потрібно пам’ятати, що якщо має місце перенесення, то переноситься не після 10, а після 8 або 16.

Похожие работы

Розробка управляючого і операційног вузлів ЕОМ

Скачать

50010

6

0

... в одному розряді перетворюється в 1, а в другому розряді 1 в 0). 2.4 Управляючий автомат(Каган стр.241 - 243) Будь-який цифровий пристрій складається з двох частин – операційного та управляючого блоків. Операційний блок характеризується сукупністю визначених в ньому мікрооперацій, кожна з яких являє собою деякий виконуваний в даному операційному блоці елементарний акт передачі або перетворення і ...

Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток

Скачать

35750

0

3

... за допомогою центральних різниць. Якщо область має форму кола, зручно користуватись полярними координатами Наведемо деякі загальні зауваження. При чисельному розв’язанні крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних методом сіток можуть бути використані тільки різницеві схеми, які збігаються, оскільки в цьому разі можна розраховувати на отримання наближеного розв’язку задачі, ...

Мови географічної науки

Скачать

33126

2

4

... процедур, придатних в даних обставинах, а також в умовах повної специфікації припущень, прийнятих при зборі і обробці даних. Рис.4 Етапи статистичного висновку в географії 4.  КАРТОГРАФІЯ ЯК МОВА ГЕОГРАФІЧНОЇ НАУКИ Карта є з одного боку моделлю об'єктивно існуючої реальності, а з іншого боку – однією з мов науки. Карта складається із сукупності ...

Динамічна пам'ять, принципи її організації і роботи

Скачать

54827

13

12

... пам'ті комп'ютера та представлення в ній даних. Також піднімаються питання практичного усвідомлення процесів кодування, декодування та виправлення помилок у кодах даних. 1 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 1.1 Динамічна пам’ять, принципи її організації і роботи Однією з головних задач субмікронної технології ВІС є формування структур швидкодіючих запам’ятовуючих пристроїв (ЗП) з інформаційною ємністю бі ...