Формализация задачи

1. Формализация задачи.

Обозначим:

количество корма 1-го вида через x₁;

количество корма 2-го вида через x_2;

Тогда целевая функция - затраты на корм - равна:

z=50x₁+60x₂

Соотношение количества вещества А в дневном рационе не должно быть меньше 10 д. е., т.е.

2x₁+1x₂≥10

Соответственно для вещества В и вещества С

2x₁+3x₂≥12

0x₁+2x₂≥4

Так как x₁ и x₂ - количество продукта, то справедливо

x₁≥0

x₂≥0

Полученная математическая модель задачи о смесях:

{

z=50x₁+60x₂ (min)

2x₁+1x₂≥10

2x₁+3x₂≥12

0x₁+2x₂≥4

x₁≥0

x₂≥0

2. Точное (алгебраическое) решение формализованной задачи.

Поскольку граничные условия, содержащие оба аргумента, представлены тремя уравнениями, решаются две системы, каждая из которых состоит из двух уравнений с двумя неизвестными.

Система уравнений I:

{	2x1+1x2≥10 [1]
	0x1+2x2≥4 [2]

из [2] x₂=2; тогда из [1] x₁=4,Система уравнений II:

{	2x1+3x2≥12 [3]
	0x1+2x2≥4 [4]

из [4] x₂=2; тогда из [3] x₁=3,Принимаем x₁=4, x₂=2, поскольку значение x₁=3 не удовлетворяет неравенство 2x₁+1x₂≥10

3. Графическое решение формализованной задачи.

Строим область, являющуюся пересечением всех плоскостей математической модели полученной при формализации задачи (см. черт.1).

Находим градиент функции z: grad z = {50; 60}. Строим вектор с началом в т. (0; 0) и концом в точке (50; 60). Определяем зону допустимых решений. Для этого строим линии ограничений, приравнивая между собой левые и правые части уравнений и определяя значения точек пересечения линий ограничения с осями Х1 и Х2, присваивая значения равные 0:

2x₁+1x₂=10; x₁=0, x₂=10/x₁=5, x₂=0, 2x₁+3x₂=12; x₁=0, x₂=4/x₁=6, x₂=0

0x₁+2x₂=4; x₂=2, x₁=0, x₂₌0

Строим прямую, перпендикулярную вектору градиента. Передвигаем эту прямую в направлении, указанном вектором. Самая последняя точка, которую пересекает прямая, и есть точка максимума.

Рисунок 1 - Графическое решение формализованной задачи

4. Решение задачи с помощью пакета Excel.

Для решения данной задачи линейного программирования в пакете Excel воспользуемся помощью пункта меню Сервис, пункт Поиск решения.

Прежде, чем воспользоваться этой программой, введем исходные данные:

1. В ячейки C3 и D3 вводим значения точки максимума соответственно.

2. Вводим коэффициенты целевой функции 50 и 60 в ячейки C6 и D6 соответственно.

3. В ячейку F6 вводим формулу для вычисления целевой функции. Для этого вызываем Вставка функции - "Математические" - СУММПРОИЗВ и вводим ячейки C$3: D$3 и C6: D6. Формат функции; =СУММПРОИЗВ (С$3: 0$3; С6: D6).

4. В ячейки C4: D4 вводим нижние границы равные 0. Нижняя граница показывает, что переменные не отрицательные.

5. Вводим коэффициенты системы ограничений в ячейки C10: D12.

6. Вводим правые части системы ограничений в ячейки Н10: Н12.

7. В ячейку F10 вводим формулу расчета выполнения ограничений =СУММПРОИЗВ (С$3: D$3; C10: DО). Копируем эту формулу в ячейки F11, F12.

8. В ячейку I10 вводим формулу расчета неиспользованных ресурсов =H10-F10. Копиру ем эту формулу в ячейки I11, I12

После ввода исходных данных вызываем программу Поиск решения из пункта меню Сервис.

В окно Поиска решения вводим значения в ячейках:

1. Вводим $F$6 в окно "Установить целевую ячейку", выставляем ее "Равной минимальному значению".

2. В окошко "Изменяя ячейки" вводим $C$3: $D$3.

3. В окошке "Ограничения" выбираем пункт "Добавить"

"Ссылка на ячейку" - СЗ, знак - >=, "Ограничение" - С4. Появляется ограничение:

$С$3>=$С$4. Аналогично вводим:

$D$3>=$D$4;

$F$10>=$H$10;

$F$11>=$H$11;

$F$12>=$H$12