Метод північно-західного кута

1.4.3.2 Метод північно-західного кута

Схема алгоритму така.

Надаємо змінній  (розташованій у північно-західному кутку транспортної таблиці) максимальне значення, що допускається обмеженнями на попит і обсяг виробництва:

Якщо , то виробник 1 повністю використав свої можливості і далі його можна не враховувати, а потреба 1-го споживача тепер буде рівна:  ;

Якщо , то 1-й споживач повністю задовольнив свою потребу в продукції і його можна далі не враховувати, а виробник 1 тепер має в своєму розпорядженні лише  одиниці продукції;

Якщо , то із розгляду можна виключити і споживача і виробника. В цьому випадку виключається ("вибуває з|із| гри") тільки один з них: або виробник, або споживач, а споживачеві (виробникові), що залишився, приписується нульовий попит (об'єм виробництва).

Після встановлення об'єму перевезень по маршруту (1,1) ми маємо справу з новою задачею, у якій сумарне число виробників і споживачів на 1 менше, ніж у вихідній задачі. У північно-західну клітину таблиці нової задачі, отриманої уявним викреслюванням першого стовпця або першого рядка старої таблиці, знову поміщаємо максимально можливий об'єм перевезень (він може опинитися і нульовим). Продовжуючи цей процес, прийдемо до рішення задачі, оскільки

1.4.3.3 Метод найменшої вартості

Метод північно-західного кута не обов'язково дає "добре" початкове рішення для транспортної задачі. Розглянемо метод найменшої вартості, що забезпечує отримання початкового рішення шляхом вибору "дешевих" маршрутів.

Схема алгоритму така.

Вибирається змінна, якій відповідає найменша вартість у всій таблиці, і їй надається, як можно більше значення. (Якщо таких змінних декілька, то береться будь-яка з них.). Викреслюється відповідний стовпець або рядок (оскільки дане обмеження задачі виконане). Якщо обмеження по стовпцю і рядку виконуються одночасно, то, як і в методі північно-західного кута, викреслюється або стовпець, або рядок. Обчислюється нове значення попиту або об'єму виробництва для невикресленого рядка або стовпця.

Після встановлення об'єму перевезень по маршруту, визначеному в пункті 1, ми маємо справу з новою задачею, в якій сумарне число виробникїв і споживачів на 1 менше, ніж в вихідній задачі. Далі процес повторюється при можливо більшому значенні тієї змінної, якій відповідає мінімальна вартість серед невикреслених (це значення може опинитися і нульовим). Процедура завершується, коли залишається один рядок і один стовпець.

1.4.3.4 Метод Фогеля

Цей метод є евристичним і зазвичай приводить до кращого початкового рішення, ніж два описаних вище. Насправді цей метод часто дає оптимальне або близьке до оптимального початкове рішення.

Схема алгоритму така. Обчислити штраф для кожного рядка (стовпця), віднімаючи найменший елемент цього рядка (стовпця) з наступного за ним по величині елементу того ж рядка (стовпця). Відзначити рядок або стовпець з найбільшим штрафом, а якщо таких декілька - вибрати серед них будь-який рядок або будь-який стовпець. У відміченому рядку або стовпці вибрати змінну з найнижчою вартістю і надати їй найбільше можливе значення. Скоректувати об'єм виробництва і попит і викреслити рядок або стовпець, відповідні виконаному обмеженню. Якщо обмеження по рядку і стовпцю виконуються одночасно, то викреслити або рядок, або стовпець, а стовпці (рядку), що залишився, приписати нульовий попит (об'єм виробництва). Рядок (або стовпець) з нульовим об'ємом виробництва (або попитом) не використовується в подальших обчисленнях. Якщо невикресленим залишається в точності один рядок або один стовпець, то закінчити обчислення. Якщо залишається невикресленою тільки один рядок (стовпець) із позитивним об'ємом виробництва (попитом), знайти базисні змінні в цьому рядку (стовпцю), використовуючи метод найменшої вартості. Якщо всім невикресленим рядкам і стовпцям відповідають нульові об'єми виробництва і величини попиту, знайти нульові базисні змінні, використовуючи метод найменшої вартості. В інших випадках обчислити нові значення штрафів для невикреслених рядків і стовпців і перейти до пункту 2. (Слід зазначити, що рядки і стовпці з нульовими значеннями об'єму виробництва і попиту не повинні використовуватися при обчисленні цих штрафів.)

1.4.3.5 Приклад рішення задачі

Для ілюстрації рішень транспортних задач, розглянемо приклад рішення цих задач із застосуванням методу потенціалів із способом знаходження початкового ДБР методом найменшої вартості.

Транспортна задача представлена у вигляді таблиці:

Таблица 1.9 – Умови транспортної задачі

Розв'язування:

1. Виберемо змінну, якій відповідає мінімальна вартість. Такою є змінна Х14 (C14=0). Відповідні значення попиту і об'єму виробництва визначають Х14=10, тобто і по рядку, і по стовпцю обмеження виконуються одночасно. Викреслювати можна або рядок 1 або стовпець 4, викреслимо рядок 1. Після цього об'єм виробництва в стовпці 4 залишається рівним нулю.