Силовой анализ рычажного механизма

3. Силовой анализ рычажного механизма

  3.1 Построение плана скоростей для расчётного положения

Расчётным положением является положение №11. Построение плана скоростей описано в разделе №2. Масштабный коэффициент плана скоростей

  3.2 Определение ускорений

Определяем угловое ускорение звена 1.

, (3.1)

где,  - момент от сил движущих,

 - момент от сил сопротивления,

 - приведённый момент инерции маховика,

 - приведённый момент инерции рычажного механизма для расчётного положения,

 - первая производная от приведённого момента инерции механизма для расчётного положения

, (3.2)

где,  - масштабный коэффициент по оси ,

 - масштабный коэффициент по оси φ,

 - угол между касательной, проведённой к кривой графика  в расчётном положении и осью φ.

Знак минуса говорит о том, что кривошип ОА замедляется. Направляем  против направления  и берём значение ускорения по модулю.

Строим план ускорений для расчётного положения.

Скорость точки А определяем по формуле

, (3.3)

где,  - ускорение точки А,

 - нормальное ускорение точки А относительно точки О,

 - тангенциальное (касательное) ускорение точки А,

Ускорение  найдём по формуле:

, (3.4)

где,  - угловая скорость кривошипа,

 - длина звена ОА, м

Ускорение  найдём по формуле:

, (3.5)

Из произвольно выбранного полюса откладываем вектор длиной 100 мм. Найдём масштабный коэффициент плана скоростей.

, (3.6)

Определим длину вектора :

Ускорение точки А определим из следующеё формулы:

Определим ускорение точки B из следующей системы уравнений:

, (3.7)

Для определения нормальных ускорений точки В относительно точек А и С

Воспользуемся следующими формулами:

Определим длину векторов :

Ускорение направляющей равно нулю, т.к. она неподвижна.

Кореолисово ускорение точки В относительно направляющейрано нулю, т.к. точка В движется только поступательно относительно .

Ускорение точки В найдём, решив системе (3.7) векторным способом:

Из вершины вектора ускорения точки А () откладываем вектор  (параллелен звену АВ и направлен от В к А), из вершины вектора  

проводим прямую перпендикулярную звену АВ (линия действия ); из полюса проводим горизонтальную прямую (линия действия ); на пересечении линий действия векторов и  получим точку b, соединив полученную точку с полюсом, получим вектор ускорения точки В.

Из плана ускорений определяем вектор ускорения точки В и вектор тангенциального ускорения :

Ускорение сочки С определяем аналогично ускорению точки B.

Определим длину векторов :

 

Из полученных тангенциальных ускорений найдём угловые ускорения 2-го и 3-го звеньев:

Определим ускорения центров масс звеньев:

Ускорение центра масс 2-го звена  найдём из соотношения (3.10)

 (3.8)

Из плана ускорений мм

мм

мм

Ускорение центра масс 4-го звена  найдём из соотношения (3.11)

 (3.9)

Из плана ускорений мм

мм

мм

Ускорения центров масс 3-го и 5-го звеньев равны ускорениям точек D и D’ соответственно:

Значения всех ускорений сведём в таблицу:

Таблица 3.1 – Ускорения звеньев

Ускорение точек механизма	Значение,	Ускорение центров масс и угловые ускорения	значение, ,
		---	---
		---	---

  3.3 Определение сил и моментов инерции звеньев

Силы инерции определяем по формуле:

 (3.10)

где.  - масса i-го звена, кг;

 - ускорение центра масс i-го звена,

Определяем моменты инерции звеньев:

 (3.11)

где,  - момент инерции i-го звена,  

 - момент инерции i-го звена относительно центра масс,

 - угловая скорость i-го звена,

Рассчитаем силу тяжести каждого звена:

  3.4 Определение реакций в кинематических парах и уравновешивающей силы методом планов

Рассмотрим группу Асура 2-3:

Найдём тангенциальную реакцию из следующего уравнения:

 (3.12)

Из уравнения (3.12) получим

С помощью плана сил определим неизвестные реакции  и :

Найдём масштабный коэффициент

Из плана сил определяем значения неизвестных сил:

Реакцию  определяем из следующего векторного уравнения

найдём из векторного уравнения

, отсюда

Таблица 3.3 – Силы и вектора сил 2-го и 3-го звеньев

	9196,598	2149,35	9444,472	6572,285	83,3	384,65	47,04	2981,904	1370,979
	279,86	65,4	287,4	200	2,53	11,7	1,43	90,74	41,72

Рассмотрим группу Асура 4-5:

Найдём тангенциальную реакцию из следующего уравнения:

 (3.13)

Из уравнения (3.13) получим

С помощью плана сил определим неизвестные реакции  и :

Найдём масштабный коэффициент

Из плана сил определяем значения неизвестных сил:

Реакцию  определяем из следующего векторного уравнения

найдём из векторного уравнения

, отсюда

Таблица 3.3 – Силы и вектора сил 2-го и 3-го звеньев.

	13499,197	3550,439	13958,357	7378,425	83,3	24183,7	47,04	4432,944	3459,338
	365,91	96,24	378,356	200	2,25	655,524	1,27	120,159	93,769

Рассмотрим начальный механизм.

Определим уравновешивающую силу

Уравновешивающий момент равен

Реакцию  определяем графически

Из плана сил находим

 

3.5 Определение уравновешивающей силы методом Жуковского

 

Для этого к повёрнутому на  плану скоростей в соответствующих точках прикладываем все внешние силы действующие на механизм, не изменяя их направления. Моменты раскладываем на пару сил, изменив их направления.

, (3.14)

где,  и  - пара сил,

 - момент инерции i-го звена,

 - длина i-го звена,

Записываем уравнение моментов сил относительно полюса :

, отсюда

 

Уравновешивающий момент равен

  3.6 Расчёт погрешности 2-х методов

, (3.15)

где,  - сила полученная методом Жуковского,

 - сила полученная методом планов,

 - погрешность,

4. Проектирование кинематической схемы планетарного редуктора и расчёт эвольвентного зацепления   4.1 подбор числа зубьев и числа сателлитов планетарного редуктора

Рисунок 4.1

Определим неизвестное число зубьев 3-го колеса из условия соосности:

 (4.1)

где,  - число зубьев 1-го колеса

 - число зубьев 2-го колеса

Определим передаточное отношение  

 (4.2)

где,  - передаточное отношение от 1-го звена к водилу, при неподвижном третьем звене

 - передаточное отношение от 4-го звена к пятому

 (4.3)

где,  - число зубьев 4-го колеса

 - число зубьев 5-го колеса

 (4.4)

где,  - передаточное число от 1-го ко 3-му колесу при неподвижном водиле

 (4.5)

где,  - передаточное число от 1-го ко 2-му колесу

 - передаточное число от 2-го ко 3-му колесу

Проверяем условие соседства:

 (4.6)

где,  - число сателлитов планетарного механизма

Из формулы (4.4) выразим K

 

Примем  

 - условие соседства выполняется

Проверяем условие сборки

 (4.7)

где,  - сумма чисел зубьев в одной из ступеней механизма

 - целое число

 - условие сборки выполняется

  4.2 Исследование планетарного механизма графическим и аналитическим способом

Рассчитаем радиусы колёс

 (4.8)

где,  - радиус колеса,

 - модуль

Изображаем механизм в выбранном масштабе

(4.9)

Определим радиусы колёс на схеме

Строим план линейных скоростей. Для построения прямой распределения скоростей точек звена необходимо знать скорости двух точек. Для 1-го звена это точки А и О. Скорость точки О равна нулю, так как ось неподвижна. Скорость точки А определим по формуле

(4.10)

где,  - угловая скорость 1-го звена,

Угловую скорость 1-го звена определим по формуле

 (4.11)

где,  - частота вращения двигателя,

Определим угловую скорость вращения водила и второго зубчатого колеса

Вектор скорости точки А  изображаем в виде отрезка Aa. Принимаем .

Определим масштабный коэффициент

 (4.12)

где,  - масштабный коэффициент скорости,

Прямая Оа является линией распределения скоростей точек 1-го звена.

Скорость точки В равна нулю, так как колесо 3 неподвижно.

Прямая Оb является линией распределения скоростей тачек водила.

Строим план угловых скоростей.

Из произвольно выбранной точки Р строим пучок лучей, параллельных прямым Оа, Оb и Eb. При пересечении этих прямых с горизонтальной осью расположенной от точки Р на произвольном расстоянии РS, получим отрезки S1, S5 и SH, которые являются аналогами угловых скоростей.

Найдём передаточное отношение

 (4.13)

Рассчитаем погрешность двух методов

(4.14)

где,  - передаточное отношение, заданное в условии

 - передаточное отношение найденное с помощью плана угловых скоростей

  4.3 Расчёт параметров зубчатых колёс

Рассчитываем смещение колёс

Так как , то

Так как , то

Коэффициент суммы смещений

(4.15)

где,  - смещение 1-го колеса

 - смещение 2-го колеса

Определим угол зацепления по формуле

(4.16)

где, ,  - эвольвентная функция углов  и

Межосевое расстояние определим по формуле

(4.17)

где,  - модуль зубчатой передачи

Определим делительные диаметры

 (4.18)

Делительное межосевое расстояние

 (4.19)

Коэффициент воспринимаемости смещения

(4.20)

где,  - межосевое расстояние,

 - делительное межосевое расстояние,

Коэффициент уравнительного смещения

(4.21)

Определим радиусы начальных окружностей

(4.22)

Радиусы вершин зубьев

(4.23)

где,  - коэффициент высоты головки зуба

Радиусы впадин зубьев

(4.24)

где,  - коэффициент радиального зазора

Высота зуба

 (4.25)

Толщины зубьев по делительной окружности

(4.26)

Радиусы основных окружностей

 (4.27)

Углы профиля в точке на окружности вершин

(4.28)

Толщины зубьев по окружности вершин

 (4.29)

Проверим зубья на заострение

 (4.30)

 Зубья удовлетворяют условию заострения

Угловой шаг зубьев

 (4.31)

4.4 Определение коэффициента относительного скольжения

Для 1-го колеса:

 (4.32)

где,  - коэффициент относительного скольжения 1-го зубчатого колеса

 - передаточное отношение от второго колеса к первому

 - длина теоретической линии зацепления

 - переменное расстояние от точки  к точке

 и

Для 2-го колеса:

(4.33)

Определим масштабный коэффициент относительного скольжения

Результаты сводим в таблицу

Таблица 4.1 – Коэффициенты скольжения

,		,		,
0			1	25
20	-8,2605	-206,51	0,892014	22,3
40	-3,13025	-78,26	0,757884	18,95
60	-1,42017	-35,50	0,586805	14,67
80	-0,56513	-14,13	0,361073	9,03
100	-0,0521	-1,3	0,04952	1,24
120	0,289917	7,25	-0,40829	-10,21
140	0,534214	13,36	-1,14691	-28,67
160	0,717438	17,94	-2,53904	-63,48
180	0,859944	21,5	-6,14002	-153,5
200	0,97395	24,35	-37,3877	-934,69
224,28	1	25

  4.5 Определение коэффициента перекрытия зубчатой передачи графическим и аналитическим способом

Коэффициент перекрытия зубчатой передачи определяем (графически) по формуле

(4.34)

где,  - длина активной линии зацепления

 - основной шаг,  

Для определения коэффициента перекрытия зубчатой передачи аналитически воспользуемся формулой

(4.35)

где,  - углы профиля в точке на окружности при вершине

 - угол зацепления

5. Синтез кулачкового механизма   5.1 Вычисление масштабных коэффициентов диаграмм движения толкателя

После построения и графического интегрирования заданного графика аналога ускорения толкателя мы получили диаграмму аналога скорости толкателя, которую также графически интегрируем, в результате также получаем диаграмму аналога пути толкателя.

Исходя из диаграммы пути, определяем масштабные коэффициенты на фазе удаления и фазе возврата. Воспользуемся для этого формулой

 (5.1)

где,  - масштабный коэффициент для графика пути,

 - ход толкателя,

 - максимальное значение пути,

Для фазы удаления

Для фазы возврата

Определим масштабный коэффициент по углу

 (5.2)

где,  - рабочая фаза,

 - расстояние между 1-й и 18-й точками на чертеже.

Определим масштабные коэффициенты для диаграммы скорости

(5.3)

где,  - масштабный коэффициент скорости,

 - полюсное расстояние на диаграмме скорости,

Для фазы удаления

Для фазы возврата

Определим масштабные коэффициенты для аналога ускорения

(5.4)

где,  - масштабный коэффициент ускорения,

 - полюсное расстояние на диаграмме ускорения,

Для фазы удаления

Для фазы возврата

  5.2 Определение минимального радиуса кулачка

Для его нахождения исходными данными являются график пути и график скоростей и , ход толкателя , угол давления , эксцентриситет

На основании этих данных строится зависимость .

По оси  откладываются расстояния пути, которые берутся с графика пути в определённом масштабе, т.к. у нас разные масштабы на фазе удаления и фазе возврата, то мы должны привести их к одному.

Найдём поправочные коэффициенты

(5.5)

где,  - поправочный коэффициент

 - новый масштабный коэффициент, одинаковый для оси  и , он принимается произвольно.

Через полученные точки на линии параллельной  откладываем отрезки аналогов скоростей для соответствующего интервала, взятые с графика скорости.

Отрезок скорости приводится к тому же масштабу, что и графики пути.

Определим поправочные коэффициенты

 (5.6)

где,  - поправочный коэффициент

После построения получили некоторую кривую, к ней под углом  проводим касательные.

Из области выбора центра  выбираем с учётом масштаба

.

  5.3 Определение углов давления

Найдём зависимость угла давления  от угла.

 (5.7)

где,  - угол давления,

 - расстояние ,

 - длина коромысла АВ,

 - отрезок скорости,

 - угол между отрезком АВ и расчётной прямой на чертеже,

Произведём расчёт при

Остальные значения угла давления определяем аналогично, и результаты сносим в таблицу

Таблица 5.1 – Углы давления

	0	14,37	27,75	43,12	57,5	71,87	86,25	100,62	115
	-13,56	13,91	30,29	35,8	35,27	32,23	26,84	19,45	10,04
	135	152,5	170	187,5	205	222,5	240	257,5	275
	10,04	-0,31	-10,52	-19,58	-27,28	-34,7	-36,88	-30,67	-13,56

При построении используем следующие масштабные коэффициенты

5.4 Построение центрового и действительного профиля кулачка

Определим полярные координаты для построения центрового профиля кулачка.

(5.8)

где,  - радиус вектор,

 - отрезок пути,

 (5.9)

 (5.10)

Рассчитываем  и  для положения 5

Все остальные значения сводим в таблицу

Таблица 5.2 – Значения полярных координат

Полож	1	2		3		4		5		6		7		8		9
	0	14,37		28,75		43,12		57,5		71,87		86,25		100,62		115
	20	21,24		24,7		29,89		36		42,11		47,3		50,76		52
Полож	10		11		12		13		14		15		16		17	18
	135		152,5		170		187,5		205		222,5		240		257,5	275
	52		50,58		46,96		41,85		36		29,53		25,04		21,42	20

Определим масштабный коэффициент для построения кулачка

По полученным значениям  и  строим центровой профиль кулачка. Для этого в масштабе  проводим окружность радиусом .

От радиуса  в направлении противоположном вращению кулачка, отложим полярные углы , на сторонах которых отложим . Соединив плавной кривой концы радиусов-векторов получим центровой профиль кулачка.

Действительный профиль кулачка найдём, как кривую, отстоящую от центрового профиля на расстоянии, равном радиусу ролика.

Определим радиус ролика

 (5.11)

где,  - радиус ролика,

 (5.12)

где,  - радиус кривизны профиля кулачка, определяется графически

Радиус кривизны профиля кулачка приближённо определяется как радиус вписанной окружности участка кулачка, где его кривизна кажется наибольшей. На этом участке произвольно выбираются точки . Точку  соединим с точками  и . К серединам получившихся хорд восстановим перпендикуляры, точку пересечения которых примем за центр вписанной окружности.

Принимаем

На центровом профиле кулачка выбираем ряд точек, через которые проводим окружность с радиусом ролика. Огибающая эти окружности является действительным профилем кулачка.

Литература

1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин; Учеб. для втузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. 1988;

2. Девойно Г.Н. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин. 1986.