Оценка рациональной формы поперечного сечения с точки зрения прочности

3. Оценка рациональной формы поперечного сечения с точки зрения прочности

Наиболее рациональным по расходу материала является швеллер или двутавр, так как для обеспечения прочности при одинаковых условиях площадь поперечного сечения у них наименьшая. Выбираем двутавр.

4. Проверка выбранного поперечного сечения на прочность касательного напряжения

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

τ_max =  ≤ [τ]

[τ] = 390 МПа – допускаемое касательное напряжение.

Из эпюры поперечных сил:

Q_max = 29,4 т = 29,4 · 10⁴ Н – максимальная поперечная сила.

Из справочника (двутавр №36):

S_x = 423 см³ = 423 · 10^-6 м³ – статический момент полусечения расположенного выше или ниже нейтральной оси.

I_x = 13380 cм⁴ = 13380 · 10^-8 м⁴ – момент инерции всего сечения относительно нейтральной линии.

b = d = 7,5 мм = 0,0075 м – толщина стенки двутавра.

τ_max =  = 124 · 10⁶ Па = 124 МПа

τ_max = 124 МПа ≤ [τ] = 390 МПа

5. Построение эпюр нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки

Определим наибольшие нормальные напряжения в сечении балки с максимальным изгибающим моментом.

σ_max = ± M_max / W_x = ±(48,22 · 10⁴) / 0,000743 = ± 648 МПа,

_min

так как для двутавра №36 W_x = 743 см³ = 0,000743 м³.

Из теории известно, что наибольшие нормальные напряжения при поперечном изгибе возникают в крайних волокнах сечения, в нейтральном слое напряжение равно нулю. Строим эпюру нормальных напряжений. Для этого в произвольном масштабе изображаем сечение двутавра. Параллельно вертикальной оси двутавра проводим нулевую линию и откладываем от нее по разные стороны на уровне крайних волокон σ_max и σ_min. Соединяем эти точки прямой линией.

Наибольшие касательные напряжения найдены выше. τ_max = 124 МПа

Наибольшие касательные напряжения по высоте сечения возникают на уровне нейтральной оси.

Строим эпюру касательных напряжений (рис. 2).

На нулевой линии на уровне нейтральной оси откладываем τ_max. Зная характер эпюры, даем ее полное изображение.

Рис. 2.

6. Проверка на прочность балки по эквивалентным напряжениям

Рассмотрим элемент, вырезанный в районе точки А (рис. 3). На гранях этого элемента, совпадающих с поперечными сечениями, возникают максимальные нормальные напряжения. В точке А возникает линейное напряженное состояние, поэтому условие прочности имеет вид:

σ_max ≤ [σ]

Очевидно, что:

σ_max = σ_А = M_max / W_x = (48,22 · 10⁴) / 0,000743 = 648 МПа

σ_max = 648 МПа ≤ [σ] = 650 МПа.

Рассмотрим элемент, вырезанный в районе точки В (рис. 3). На его гранях, совпадающих с поперечными сечениями, возникают максимальные касательные напряжения (точка В находится в нейтральном слое).

τ_max = τ_В =  =  = 124 · 10⁶ Па = 124 МПа

В точках нейтрального слоя возникает плоское напряженное состояние – чистый сдвиг. Как известно, при чистом сдвиге:

σ₁ = |σ₃| = τ; то есть:σ₁ = |σ₃| = τ_max = τ_В = 124 МПа

По гипотезе прочности наибольших касательных напряжений:

σ_экв = σ₁ – (-σ₃) = σ₁ + σ₃ = 2τ_В = 2 · 124 = 248 МПа

σ_экв = 248 МПа ≤ [σ] = 650 МПа.

Вероятно опасной точкой может быть точка С (точка на границе полки и стенки двутавра). В этой точке возникают нормальные напряжения, близкие по значению к максимальным и значительные касательные напряжения (рис. 3).

σ_С =  =  = 604 · 10⁶ Па = 604 МПа

τ_С =  =  = 91 · 10⁶ Па = 91 МПа

S_x’ – статический момент площади полки относительно оси х. Принимая полку за прямоугольник с размерами: 145х12,3, находим:

S_x’ = 145 · 12,3 · 173,85 = 3,1 · 10⁵ мм³ = 3,1 · 10^-4 м³

В точке С возникает плоское напряженное состояние. По гипотезе наибольших касательных напряжений находим:

σ_экв =  =  = 631 МПа

σ_экв = 631 МПа ≤ [σ] = 650 МПа.

Рис. 3.