О терминологии

3. О терминологии

Далее в последующих нескольких главах будут использоваться несколько терминов. Во-первых, часто будет употребляться полезность и функция полезности в их обычном для экономики и социологии смысле: при сравнении человеком (или группой людей) двух наборов благ считается, как обычно, что люди могут указать, какой из них будет лучше, выгоднее, полезнее для них.

Сравнивать попарно наборы различных благ людям приходится постоянно. Поэтому приходится выбирать, какой из наборов лучше для человека, т.е. какой набор имеет преимущество перед другим. Это означает, что из двух наборов человек предпочитает один (или не дает предпочтения ни тому, ни другому). Отсюда появляется предпочтение человеком одного набора благ перед другим, которое представляется в виде функции предпочтения, зависимой от этих двух наборов.

Наборы благ, которыми человек располагает, он может сравнивать с другим и решать для себя вопрос, какой из наборов более притягателен для него, ближе к его интересам, лучше удовлетворяет его нужды. В этом случае говорят о привлекательности набора благ, которая математически представляется в виде функции привлекательности для двух сравниваемых наборов.

Однако, когда речь идет о движении населения между состояниями или статусами (как в этой и последующих главах), то человек может сравнивать наборы благ в состоянии (на предприятии, отрасли, районе), к которому он принадлежит и благами которого, поэтому, располагает, с набором благ в другой состоянии, в которое он может при желании перейти. В этом случае, если набор благ в последнем лучше, чем в исходном, то человек будет стремиться туда перейти, будет тянуться туда. В этом случае можно говорить о тяге человека из исходного статуса в новый, который математически также выражается в виде функции от двух наборов благ.

Пожалуй, последний термин – тяга – наиболее точно отражает поведение человека в данном случае, так как он показывает лишь стремление лица к лучшему набору, но никак не отражает осуществимость такого стремления, которое может быть затруднено, ограничено целым рядом причин. Поэтому тяга из исходной группы в любую другую не означает, как предпочтение и привлекательность последней, реальность попасть туда. Именно в этом смысле все термины: «предпочтение», «привлекательность» и «тяга» в последующих главах будут использованы как синонимы, хотя в установившейся терминологии, должен остаться в строгом смысле только один (но какой?).

Но прежде всего следует дать краткий ответ на вопрос из-за чего люди двигаются, переходя из одной социальной группы в другую, переезжая из одного района в другой, изменяя место приложения своего труда и даже часто профессию. Ответить, что ими «овладело беспокойство, охота к перемене мест» – значит не сказать ничего, точно также как ничего не означает их «склонность к миграции». Люди меняют свой статус, стремясь к лучшему: более чистому воздуху и воде, более благоприятному климату, большим заработкам, лучшему жилью и т.д. Поэтому необходимо связать характеристики и блага, которыми человек располагает, с теми, которые он хочет приобрести при изменении своего статуса – именно это обычно называют «голосованием ногами».

Возникает вполне резонный вопрос: для чего нужно такое довольно громоздкое описание человека, ведь есть достаточно простые и хорошо работающие модели движения населения. Ответ состоит в том, что самые простые модели – это Марковские модели. Теперь, если сделать интенсивности (вероятности) переходов зависимыми от признаков человека на старом исходном месте и новом, куда он прибывает, то станет очевидным, что переходы зависят лишь от сравнения исходного места и места прибытия, т.е. поведение человека в ближайшее время при будущем переходе описывается только его характеристиками в настоящем. А это и есть грубый признак марковости. Действительно, в настоящем человек располагает набором x, который он при решении вопроса о переходе сравнивает с тем, чем он будет располагать в будущем – с набором y.

4. Проверка марковости

Переходы людей наблюдаются статистическими бюро различных стран и доступны для исследователя. Отсюда появляется задача связать это движение с выбором лучшего каждым человеком. Известные модели движения населения (чаще всего это макромодели) обычно предполагают, что разные группы людей связываются потоками переходов. Более того, далее будут приведены зависимости, связывающие межгрупповые потоки людей с условиями в разных группах. Эти условия служат мотивами переходов и называются обычно факторами подвижности. Как макро так и микро модели движения людей, в которых учитываются факторы подвижности называют обычно факторными.

Факторные микромодели наиболее распространены среди исследователей миграции, реже они встречаются, когда говорят о социальной мобильности или межотраслевом движении. Чаще всего, как будет видно при исследовании макромоделей, факторные модели учитывают зависимость будущего статуса человека от его настоящего. Хотя это и упрощает действительную зависимость, но взамен дает возможность рассчитывать будущее в зависимости только от настоящего. Такой вид зависимости математики обычно называют Марковской зависимостью. Далее, когда будет встречаться такое упрощение, всегда будет говориться о марковости, Марковской зависимости или модели.

Несмотря на то, что наиболее часто встречающиеся в литературе факторные модели движения населения почти всегда бывают Марковскими, нигде не встречается доказательство того, что это действительно так, хотя для некоторых моделей (в частности, при делении людей на «оседлых» и «кочевников») известно, что они не могут быть Марковскими. Поскольку Марковские модели обладают рядом свойств, то выполнимость этих свойств необходимо проверять. Но это никогда не делалось. Этот пробел будет заполнен далее.

Решение о переходе принимается или нет, в зависимости от сравнения x и y, т.е. имеется некоторая функция f (x, y), связывающая силу тяги со старого места x в новое y, а f (x, x) дает привлекательность состояния y=x такую же, как на старом месте. Наверное перехрды будут в том случае, когда f (x, y)>f (x, x), при этом предполагается, что функция f (x, y) будет связана, скажем, с вероятностью перехода индивида из состояния x в состояние y. Эта связь очень проста для Марковских моделей с непрерывным временем, так как для них f (x, y) – это может быть интенсивностью перехода, а для Марковских моделей с дискретным временем и, как правило, достаточно малой единицей времени h f (x, y) h – вероятность перехода из состояния x в состояние y. Остается проверить лишь условия, которые необходимы для марковости.

Рассмотрим группы, обозначенные символами i и j, состоящие из мест с эквивалентными условиями жизни и труда: i – группа с условиями, эквивалентными x – любыми исходными условиями xÎX_i, j – группа с конкретными условиями y, куда человек переходит или стремится попасть, или эквивалентными им x_j; множество X_j содержит и условия y. Поскольку функция f (x, y) принимает при любых xÎX_i и yÎX_j=Y_j одни и те же значения, то f (x, y)=l_ij. Теперь интенсивности переходов между группами i и j будт функциями от факторов x и y.

Покажем, что факторная модель переходов отдельных людей (микро модель) между условиями x на старом и y на новом местах может быть Марковской. Для моделей с непрерывным временем достаточно проверить, что матрица интенсивностей переходов C=ºc_ijº обладает двумя свойствами: а) квазинеотрицательностью и б) суммы элементов каждой строки равные 0, т.е. Ce=0, где e=(1,1,…, 1)^T.

Положим далее интенсивности переходов l_ij=f (x, y) из условий xÎX_i в yÎY_j. Тогда, обозначив через l_i(Y_j) интенсивность переходов в группу j, которая может состоять не обязательно как ранее из эквивалентных условий, получим l_i(Y_j)=, а для интенсивности переходов в любую группу (интенсивности выхода из группы i) r_i=. Теперь легко увидеть, что необходимые условия а) и б) выполняются для матрицы C=-R+L, где L=ºl_ijº, а R – диагональная матрица с диагональными элементами r_i. Кстати, при фиксированном x и произвольном множестве Y_j, функция l_i(Y_j) будет переходной функцией Марковского процесса. Таким образом, факторная модель движения населения будет Марковским случайным процессом с переходными вероятностями l_ij=f (x, y).

Для Марковских моделей с дискретным временем аналогично. Действительно эти модели могут быть Марковскими лишь тогда, когда вероятности перехода p_ij из одного состояния (скажем, i) в другое (j), во-первых, неотрицательны, а, во-вторых, сумма p_ij по всем j для любого i равна 1. Если допустить, что p_ij=f (x, y) h, где условия x присущи индивиду из групп i, а y – условия, на которые он переходит в группу j за время h, то оказывается (см. например [Староверов, 1979]), что p_ij могут быть только постоянными величинам, т.е. не могут меняться для разных групп i и j. Это значит, что модели, описанные, например, в [Бартоломью] не могут быть факторными, т.е. вероятности переходов не зависят от разных условий индивидов в группах i и j (скажем, проживающих в разных районах).

Однако, когда матрица P=R-R+I, где R диагональная матрица, состоящая из элементов r_ih, равных сумме f (x, y) h по любым y, x – какие-либо из эквивалентных условий в группе i, а y – любые условия после перехода в группу j эквивалентных условий y, то модель может быть Марковской. Действительно, для любых функций f (x, y)>0 и r_i=, если вероятности p_ij=r_ih при i¹j и p_ii=1‑r_ih+r_ih, где  вероятность перехода из группы i с эквивалентными условиями xÎX_i в группу j с эквивалентными условиями yÎY_j после выхода из группы i, то вероятности p_ij уже неотрицательны и в сумме по j равны 1. Доказательство очевидно (см., например, [Староверов, 1979])

Итак, показано, что модель движения населения может зависеть от факторов подвижности так, что ее параметры (интенсивности перехода для случая непрерывного времени, вероятности перехода – для дискретного) представляют собой функции лишь от факторов в группе выхода (i) и группе попадания (j). Такая возможность, правда, дает лишь косвенное подтверждение марковости, так как сама марковость следует из трех гипотез, одна из которых говорит о том, что вероятности перехода l_ijh за малый интервал времени h зависят только от групп i и j, т.е., как сейчас стало ясно, от факторов подвижности только в этих двух группах.

Подчеркнем еще раз, что рассматриваются люди, которые перемещаются по состояниям x (т.е. из состояния xÎX_i в yÎX_j) и лишь множества X_i и X_j относят человека к той или иной группе (с эквивалентными или произвольными условиями). Если же  – все условия, предоставляемые людям, то принадлежность к группе определяется сторонним наблюдателем, которому удобнее рассматривать группы людей и движение между ними, а не переходы отдельного человека.