Основные свойства

5. Основные свойства

Функции f (x, y) в первую очередь показывают, как отдельный человек сравнивает одни условия с другими, насколько одни условия (y) привлекательнее других (x), так как без улучшения условий своей жизни и труда. Более того, чем больше улучшаются условия при переходе, тем больше люди будут стремиться их обретать и тем чаще будут происходить перемещения людей. Таково основное предположение всех факторных моделей. Другими словами, люди по собственному желанию в заведомо худшие условия не пойдут, их можно загнать туда толь насильно или обманом – уж таковы предпочтения человека при переходе с одного места на другое. Поэтому будем называть интенсивности переходов до специально оговоренного случая еще функциями привлекательности, тяги или предпочтения, не различая эти термины, как и было отмечено ранее.

Функции f (x, y), показывающие зависимость интенсивности перемещения от уровней предпочтения, степени привлекательности или силы тяги, были известны давно, как и их общие свойства. Например, при улучшении своего положения (увеличении компонент набора x), индивид уменьшает свое желание к переходам на другие фиксированные условия (y). Наоборот, при фиксированном наборе x, улучшение условий y, предлагаемых человеку в другом месте, желательность перехода, поэтому и его интенсивность, будет возрастать.

Для экологических факторов, таких как загрязненность, радиация и т.д., если есть потребность представлять их как заработки, т.е. при увеличении значений факторов предпочтение также растет, их следует представлять в виде либо обратных величин, либо результата вычитания показателя из некоторого условного уровня, например, предельно допустимой нормы. Далее будут указаны другие возможности.

Будем для простоты считать все факторы непрерывно меняющимися, а функции f (x, y) – гладкими, тогда в математическом виде интенсивности переходов f (x, y) обладают следующими свойствами: , a  (см., [4]). Поскольку x – вектор, то –  будет вектором  , а неравенства <0 или >0 означает положительность (для ) всех компонент, или их отрицательность (для ).

6. Примеры. Эти общие свойства справедливы для всех частных случаев, которые были использованы для моделирования миграции.

Пример 1. (аддитивная или линейная интенсивность переходов). Наиболее простой представляется такая зависимость функции интенсивности f (x, y) когда она линейна как по x так и по y. Наиболее общий вид такой функции f (x, y)=a-x+, где a – скаляр (число), а b_i x и y – векторы-столбцы. Однако, чаще всего используется частный случай, когда b₁=b₂=b. Это связано с тем, что предельная эффективность одного и того же фактора при одних и тех же условиях одинакова по абсолютной величине и отличается только знаком (этот вопрос подробнее обсуждается далее). Таким образом, чистая линейная или аддитивная интенсивность переходов имеет вид:

f (x, y)=a+b^T(y-x).

Пример 2. (Мультипликативная интенсивность переходов). Другой частный вид интенсивности переходов состоит в том, что каждый фактор подвижности как бы умножает действия всех остальных, т.е. увеличившись в несколько раз, повышает предпочтения всех остальных в то же самое количество раз. Частный случай таков:

В более общем виде, который чаще всего использовался в практике моделирования, интенсивность переходов обычно записывается следующим образом:

f (y, x)=

Замечание. Видно, что последняя функция из примера 2 связана с функцией из примера 1 тем, что после логарифмирования и измерения факторов и предпочтений в логарифмической шкале они совпадают. Действительно,

lnf (x, y)=lnA+b₁(lny₁-lnx₁) +b₂(lny₂-lnx₂)+… +b_m(lny_m-lnx_m),

т.е. логарифм мультипликативной функции предпочтения совпадает с линейной функцией предпочтения, если вместо факторов подвижности подставит их логарифмы.