Фильтры верхних частот на одном усилителе с положительным коэффициентом усиления

1.1 Фильтры верхних частот на одном усилителе с положительным коэффициентом усиления

Обобщенная передаточная функция по напряжению ФВЧ второго порядка имеет вид

 (1.1)

В этом выражении Н₀ — коэффициент передачи на бесконечно большой частоте, ω_n – собственная частота, Q –добротность.

Преобразуя (1.1) получаем:

 (1.2)

Сравнивая (1.1) и (1.2) и анализируя результат можно получить первый вариант расчетных формул. Выбирая R₂=R₄=R и С₁=Сз=С, получаем:

; 1/Q=3-K; H₀=K, (1.3а), (1.3б), (1.3в)

Реализацию ФВЧ второго порядка можно получить подстановкой К=1. Полагая m=С₃/С₁, и n=R₄/R₂ и подставляя С₁=С и R₂=R, получаем вместо (1.2)

 (1.4)

Сравнивая полученное с (1.1), находим еще один вариант расчетных формул (вариант 2):

  (1.5)

Отсюда видно, что для любого заданного значения п минимум 1/Q достигается при m=1. Так как обычно желательно иметь минимум 1/Q для любого заданного п, то примем m=1. В этом случае (1.5) упрощается и принимает вид

  (1.6)

В другом используемом на практике наборе номиналов элементов RС-фильтра верхних частот на одном усилителе с положительным коэффициентом усиления, емкости обоих конденсаторов имеют равные номиналы, а коэффициент усиления ИНУН равен двум. Тогда нормированные значения С₁=С₃=С и K=2. Используя выражение (1.2), в этом случае находим

  (1.7)

Преимущество структурs Саллена и Ки на усилителе с положительным коэффициентом усиления заключается в том, что она характеризуется в общем случае простыми расчетными соотношениями; проектировщик имеет возможность легко управлять значениями номиналов элементов и их разбросом; кроме того, допустимо использовать небольшие значения коэффициента усиления ИНУН, которые удобны тем, что их легко стабилизировать. Есть также и некоторые недостатки; основной из них состоит в том, что она характеризуется высокими значениями чувствительности, если с их помощью пытаются реализовать схемы с высоким Q.

1.2 Фильтры, реализующие комплексно-сопряженные нули

Рассмотрим реализации активных фильтров для обобщенной передаточной функции второго порядка. Их обычно относят к биквадратным функциям фильтрации. Общий вид биквадратных передаточных функций по напряжению второго порядка такой

 (1.8)

где Н — постоянная, ω_z и ω_p— нули и полюсы, соответствующие собственным частотам, а Q_z и Q_p—добротности комплексных нулей и полюсов. Предполагается, что нули могут быть вещественными или комплексными и что они могут быть расположены в любом месте на плоскости комплексной частоты, включая и правую полуплоскость.

Первый тип биквадратного фильтра реализуется на основе схемы с одним усилителем и конечным коэффициентом усиления.

Предполагая, что нули расположены ближе к началу координат, чем полюсы, получаем следующие расчетные соотношения:

 ; ; (1.9а), (1.9б)

; Н=К (1.9в), (1.9г)

Множитель т можно выбрать произвольно.

Второй тип биквадратного фильтра реализуется одним усилителем с бесконечным коэффициентом усиления. Здесь используется операционный усилитель с дифференциальным входом. Передаточную функцию такого фильтра легко найти

 (1.10)

Если Y₁+Y_a+Y₄=Y₂+Y_b+Y₃ или Y_a=Y₂+Y₃ или Y_b=Y₁+Y₄, то (1.10) примет вид

 (1.11)

В третьем типе реализации биквадратного фильтра используются два операционных усилителя. Анализ этой схемы дает

,что совпадает с (1.11).

Рассмотрим еще одну реализацию биквадратного фильтра. В ней используются двойные Т-образные цепи в качестве пассивных компонентов. Передаточная функция фильтра по напряжению

 (1.12), где

b+2=g+e; f+2=d; T=RC. (1.13)

Из (1.8) и (1.13) получаем

; ;

;; . (1.14)

Если Н₀, ω_p, ω_z, Q_p и Q_z подлежат определению, то приведенные уравнения можно разрешить относительно параметров а, Ь, е, f, g, R и С.

Для ФВЧ g=b=0, e=2, 2+f=d.