Представление монохроматических волн в виде комплексных. амплитуд

1.7 Представление монохроматических волн в виде комплексных. амплитуд

В случае монохроматических волн колебания в некоторой точке пространства имеют вид

 (1.12)

Функцию такого вида можно рассматривать как действительную часть показательной функции , где i -мнимая единица. Действительно, в cоответствии с формулой Эйлера

Поскольку линейные операции – сложение, вычитание, дифференцирование и интегрирование над комплексными числами осуществляются раздельно для действительных и мнимых частей, можно заменить функцию  функцией . При этом, совершая линейные операции над функцией, нужно помнить, что интересует преобразования лишь линейных частей.

Таким образом, вместо колебаний вида (1.12) будем пользоваться формой записи

где

комплексная амплитуда, т.е. величина, несущая информацию об амплитуде Em и начальной фазе φ гармонических колебаний.

Такая замена выгодна тем, что при линейных операциях над гармоническими функциями сохраняется множитель. Это очевидно в случае сложения и вычитания. Аналогично при дифференцировании и интегрировании функции

,

В результате множитель  при преобразованиях гармонических функций можно отбросить и производить операции не над мгновенными значениями функций, а над комплексными амплитудами, что существенно упрощает анализ. При этом нужно помнить, что комплексная амплитуда производной функции равна комплексной амплитуде исходной функции, умноженной на ίω, а операция интегрирования эквивалентна делению комплексной амплитуды исходной функции на ίω.

Применяя метод комплексных амплитуд для бегущей волны вида

получим выражения для комплексной амплитуды бегущей волны

(1.13)

1.8 Радиоволны в диэлектрике с потерями энергии

Для монохроматических волн удобно записать уравнения Максвелла в комплексном виде:

где  - комплексные амплитуды соответствующих физических величин.

Комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

Учитывая (1.1), запишем для комплексных амплитуд

и первое уравнение Максвелла можно представить в виде

Величину

(1.14)

называют комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Мнимая её часть указывает на свойство среды проводить электрический ток. Величину  можно представить в виде вектора на комплексной плоскости (рис.1.4)

Тангенс угла наклона вектора  к горизонтальной оси tgδ называют тангенсом угла диэлектрических потерь, который определяется формулой

(1.15)

Для высококачественных диэлектриков tgδ→0

Диэлектрики и проводники

Как следует из (1.14) и (1.15), соотношение между мнимой и действительной частями , т.е. tgδ зависит от частоты колебаний. Поскольку плотность тока в среде равна сумме плотности тока проводимости и смещения,

то величина tgδ рана отношению плотности тока проводимости к плотности тока смещения. Таким образом, в одной и той же среде на разных частотах могут преобладать либо только токи проводимости, либо токи смещения, т.е. среда на одних частотах может быть проводником, а на других – диэлектриком.

Если колебания E(t) и H(t) происходят с частотой

,

то

и ωгр- граничная частота. При частотах, удовлетворяющих условию

ω<< ωгр

среда является проводником, а при

ω>> ωгр

- диэлектриком.

Комплексная амплитуда напряжённости поля в среде с потерями энергии

Постоянная распространения β в идеальном диэлектрике определяется выражением (1.8), которое с учётом (1.3) принимает вид

В среде с потерями постоянная распространения становится комплексным числом.

Комплексную постоянную распространения запишем в виде (см. приложение 4)

,

где для диэлектрика с малыми потерями

 .(1.16)

Подставив в (1.13) , вместо β, получим

(1.17)

что эквивалентно записи для мгновенных значений

Как видим, по мере распространения волны амплитуда колебаний уменьшается по закону

.

По этой причине α называют коэффициентом затухания среды. Аналогично изменяется и напряжённость магнитного поля

Средняя во времени мощность электромагнитного поля, проходящая через поверхность единичной площади, определяется усреднённым за период колебаний

вектором Пойнтинга.

Подставив сюда E(t,z) и H(t,z), получим

Итак, в среде с потерями плотность мощности плоской электромагнитной волны уменьшается по мере удаления волны от источника со скоростью

, дБ/м

Похожие работы

Системы радиосвязи

Скачать

31141

0

0

... .php?title=%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE-%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D1%8C&printable=yes - cite_note-1. 4. Спутниковая связь   Спутниковая связь — один из видов радиосвязи, основанный на использовании искусственных спутников земли в качестве ретрансляторов. Спутниковая связь осуществляется между земными ...

Расчет поездной радиосвязи, дальности связи в гектометровом, метровом и дециметровом диапазонах

Скачать

22425

5

4

... Так как данное соотношение не выполняется, то следует рассчитать дальность диапазона с помощью направляющих линий. 1.4 Расчет дальности связи в гектометровом диапазоне при использовании направляющих линий Дальность уверенной радиосвязи, км, между стационарными и локомотивными радиостанциями при применении направляющих линий ; (4) где Адоп – максимально допустимое затухание сигнала в ...

Расчет экономической эффективности (технологической радиосвязи на железнодорожном транспорте )

Скачать

27451

12

0

... локомотивные радиостанция 11 - 4400 - 4400 Итого 19,5 36841 170,5 37031 8. Расчет экономической эффективности внедрения новых устройств.   Расчет экономической эффективности сводится к определению годового экономического эффекта при внедрении маневровой радиосвязи на станции Б. Оборудование станции Б устройствами маневровой радиосвязи включает: Количество ...

Системы железнодорожной радиосвязи

Скачать

64467

14

11

... радиоволн - DmW. bas (3.375 кБ), Программа расчета сетей ПРС в гектометровом диапазоне радиоволн - GmW. bas (8.290 кБ). Библиографический список 1.  Художитков П.И., Золотых О.В. Системы железнодорожной связи. - Екатеринбург: УрГУПС, 1993. - 15 с. 2.  Ваванов В.В. и др. Радиотехнические средства ж. д. транспорта. - М.: Транспорт, 1991. - 303 с. 3.  Волков В.М., Головин ЭЛ., Кудряшов ...