Переходные и импульсные характеристики электрических цепей

Академия России

Кафедра Физики

Лекция

Переходные и импульсные характеристики электрических цепей

                        Орел 2009

Учебные и воспитательные цели:

Разъяснить слушателям сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей, показать связь между характеристиками, обратить внимание на применение рассматриваемых характеристик для анализа и синтеза ЭЦ, нацелить на качественную подготовку к практическому занятию.

Распределение времени лекции

Вступительная часть……………………………………………………5 мин.

Учебные вопросы:

1. Переходные характеристики электрических цепей………………15 мин.

2. Интегралы Дюамеля………………………………………………...25 мин.

3. Импульсные характеристики электрических цепей. Связь между характеристиками………………………………………….………...25 мин.

4. Интегралы свертки………………………………………………….15 мин.

Заключение……………………………………………………………5 мин.

1. Переходные характеристики электрических цепей

Переходная характеристика цепи (как и импульсная) относится к временным характеристикам цепи, т. е. выражает некоторый переходный процесс при заранее установленных воздействиях и начальных условиях.

Для сравнения электрических цепей по их реакции к этим воздействиям, необходимо цепи поставить в одинаковые условия. Наиболее простыми и удобными являются нулевые начальные условия.

Переходной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях.

По определению ,

где  – реакция цепи на ступенчатое воздействие;

 – величина ступенчатого воздействия [В] или [А].

Так как  и  делится на величину воздействия (это вещественное число), то фактически  – реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.

Если переходная характеристика цепи известна (или может быть вычислена), то из формулы можно найти реакцию этой цепи на ступенчатое воздействие при нулевых НУ

.

Установим связь между операторной передаточной функцией цепи, которая часто известна (или может быть найдена), и переходной характеристикой этой цепи. Для этого используем введенное понятие операторной передаточной функции:

.

Отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине воздействия  представляет собой операторную переходную характеристику цепи:

.

Следовательно .

Отсюда находится операторная переходная характеристика цепи по операторной передаточной функции.

Для определения переходной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:

,

воспользовавшись таблицей соответствий или (предварительно) теоремой разложения.

Пример: определить переходную характеристику для реакции напряжение на емкости в последовательной -цепи (рис. 1):

Рис. 1

Здесь реакция на ступенчатое воздействие величиной :

,

откуда переходная характеристика:

.

Переходные характеристики наиболее часто встречающихся цепей найдены и даны в справочной литературе.

2. Интегралы Дюамеля

Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие. Установим эти соотношения.

Условимся, что воздействие  является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени , а начальные условия – нулевые.

Заданное воздействие  можно представить как сумму ступенчатого воздействия  приложенного к цепи в момент  и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения  показано на рисунке 2.

Рис. 2

Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени .

Ступенчатое воздействие с перепадом  к моменту времени  обуславливает реакцию, равную произведению перепада  на значение переходной характеристики цепи при , т. е. равную:

.

Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом , обуславливает бесконечно малую реакцию , где  есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения. Так как по условию функция  непрерывна, то:

.

В соответствии с принципом наложения реакции  будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения , т. е.

.

Обычно в последней формуле  заменяют просто на , поскольку найденная формула верна при любых значениях времени :

.

Или, после несложных преобразований:

.

Любое из этих соотношений и решает задачу вычисления реакции  линейной электрической цепи на заданное непрерывное воздействие  по известной переходной характеристики цепи . Эти соотношения называют интегралами Дюамеля.