ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2. ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Прямые измерения – это такие измерения, когда значение изучаемой величины находят непосредственно из опытных данных, например снимая показания прибора, измеряющего значение искомой величины. Для нахождения случайной погрешности измерение необходимо провести несколько раз. Результаты таких измерений имеют близкие значения погрешностей и называются равноточными.

Пусть в результате n измерений величины х, проведенных с одинаковой точностью, получен ряд значений: х₁, х₂, …, х_n. Как показано в теории ошибок, наиболее близким к истинному значению х₀ измеряемой величины х является среднее арифметическое значение

 

. (2.1)

Среднее арифметическое значение рассматривают только как наиболее вероятное значение измеряемой величины. Результаты отдельных измерений в общем случае отличаются от истинного значения х₀. При этом абсолютная погрешность i-го измерения составляет

Dx_i' = х₀ – x_i4

и может принимать как положительные, так и отрицательные значения с равной вероятностью. Суммируя все погрешности, получаем

,

Откуда

. (2.2)

В этом выражении второе слагаемое в правой части при большом n равно нулю, так как всякой положительной погрешности можно поставить в соответствие равную ей отрицательную. Тогда х₀=. При ограниченном числе измерений будет лишь приближенное равенство х₀. Таким образом,  можно назвать действительным значением.

Во всех практических случаях значение х₀ неизвестно и есть лишь определенная вероятность того, что х₀ находится в каком-то интервале вблизи  и требуется определить этот интервал, соответствующий этой вероятности. В качестве оценки абсолютной погрешности отдельного измерения используют Dx_i = – x_i.

Она определяет точность данного измерения.

Для ряда измерений определяют среднюю арифметическую погрешность

.

Она определяет пределы, в которых лежит более половины измерений. Следовательно, х₀ с достаточно большой вероятностью попадает в интервал от –h до +h. Результаты измерений величины х записывают тогда в виде:

.

Величина х измерена тем точнее, чем меньше интервал, в котором находится истинное значение х₀.

Абсолютная погрешность результатов измерений Dx сама по себе еще не определяет точности измерений. Пусть, например, точность некоторого амперметра составляет 0.1а. Были проведены измерения силы тока в двух электрических цепях. При этом получили следующие значения: 320.1а и 0.20.1а. Из примера видно, что, хотя абсолютная погрешность измерений одинакова, точность измерений различна. В первом случае измерения достаточно точны, а во втором – позволяют судить лишь о порядке величины. Следовательно, при оценке качества измерения необходимо сравнивать погрешность с измеренным значением, что дает более наглядное представление о точности измерений. Для этого вводится понятие относительной погрешности

d_x = Dx /. (2.3)

Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Так как в большинстве случаев измеряемые величины имеют размерность, то и абсолютные погрешности размерны, а относительные ошибки безразмерны. Поэтому с помощью последних можно производить сравнение точности измерений разнородных величин. Наконец, эксперимент должен быть поставлен таким образом, чтобы относительная погрешность оставалась постоянной во всем диапазоне измерений.

Следует отметить, что при правильных и тщательно выполненных измерениях средняя арифметическая погрешность их результата близка к погрешности измеряемого прибора.

Если измерения искомой величины х проведены много раз, то частоты появления того или иного значения х_i можно представить в виде графика, имеющего вид ступенчатой кривой – гистограммы (см. рис. 1), где у – число отсчетов; Dx_i = х_i – x_i+1 (i изменяется от –n до +n). С увеличением числа измерений и уменьшением интервала Dx_i гистограмма переходит в непрерывную кривую, характеризующую плотность распределения вероятности того, что величина x_i окажется в интервале Dx_i.

Под распределением случайной величины понимают совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей. Законом распределения случайной величины называют всякое соответствие случайной величины возможным значениям их вероятностей. Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения Р(х).

Тогда функция р(х) = Р' (х) – плотность распределения вероятности или дифференциальная функция распределения. График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения.

Функция р(х) характерна тем, что произведение р(х)dx есть вероятность оказаться отдельному, случайно выбранному значению измеряемой величины в интервале (х, x + dx).

В общем случае эта вероятность может определяться различными законами распределений (нормальный (Гаусса), Пуассона, Бернулли, биномиальный, отрицательный биномиальный, геометрический, гипергеометрический, равномерный дискретный, отрицательный экспоненциальный). Однако чаще всего вероятность появления величины x_i в интервале (х, x + dx) в физических экспериментах описывают нормальным законом распределения – законом Гаусса (см. рис. 2):

, (2.4)

где s² - дисперсия генеральной совокупности. Генеральной совокупностью называют все множество возможных значений измерений x_i или возможных значений погрешностей Dx_i.

Широкое использование закона Гаусса в теории ошибок объясняется следующими причинами:

1) равные по абсолютному значению погрешности встречаются одинаково часто при большом числе измерений;

2) малые по абсолютному значению погрешности встречаются чаще, чем большие, т. е. вероятность появления погрешности тем меньше, чем больше ее абсолютное значение;

3) погрешности измерений принимают непрерывный ряд значений.

Однако, эти условия никогда строго не выполняются. Но эксперименты подтвердили, что в области, где погрешности не очень велики, нормальный закон распределения хорошо согласуется с опытными данными. С помощью нормального закона можно найти вероятность появления погрешности того или иного значения.

Распределение Гаусса характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины  и дисперсией s². Среднее значение определяется абсциссой (х =) оси симметрии кривой распределения, а дисперсия показывает, как быстро уменьшается вероятность появления погрешности с увеличением ее абсолютного значения. Кривая имеет максимум при х =. Следовательно, среднее значение является наиболее вероятным значением величины х. Дисперсия определяется полушириной кривой распределения, т. е. расстоянием от оси симметрии до точек перегиба кривой. Она является средним квадратом отклонения результатов отдельных измерений от их среднего арифметического значения по всему распределению. Если при измерении физической величины получают только постоянные значения х =, то s² = 0. Но если значения случайной величины х принимают значения, не равные , то ее дисперсия не равна нулю и положительна. Дисперсия, таким образом, служит мерой флуктуации значений случайной величины.

Мера рассеяния результатов отдельных измерений от среднего значения должна выражаться в тех же единицах, что и значения измеряемой величины. В связи с этим в качестве показателя флуктуации результатов измерений гораздо чаще используют величину

,

называемую средней квадратичной погрешностью.

Она является важнейшей характеристикой результатов измерений и остается постоянной при неизменности условий эксперимента.

Значение этой величины определяет форму кривой распределения.

Так как при изменении s площадь под кривой, оставаясь постоянной (равной единице), меняет свою форму, то с уменьшением s кривая распределения вытягивается вверх вблизи максимума при х =, и сжимаясь в горизонтальном направлении.

С увеличением s значение функции р(х_i) уменьшается, и кривая распределения растягивается вдоль оси х (см. рис. 2).

Для нормального закона распределения средняя квадратическая погрешность отдельного измерения

, (2.5)

а средняя квадратическая погрешность среднего значения

. (2.6)

Средняя квадратическая погрешность более точно характеризует погрешности измерений, чем средняя арифметическая погрешность, так как она получена достаточно строго из закона распределения случайных величин погрешностей. Кроме того, непосредственная связь ее с дисперсией, вычисление которой облегчается рядом теорем, делает среднюю квадратическую погрешность очень удобным параметром.

Наряду с размерной погрешностью s используют и безразмерную относительную погрешность d_s=s/, которая, как и d_x, выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Окончательный результат измерений записывают в виде:

, . (2.7)

Однако, на практике невозможно провести слишком много измерений, поэтому нельзя построить нормальное распределение, чтобы точно определить истинное значение х₀. В этом случае хорошим приближением к истинному значению можно считать , а достаточно точной оценкой ошибки измерений – выборочную дисперсию , вытекающую из нормального закона распределения, но относящуюся к конечному числу измерений. Такое название величины объясняется тем, что из всего множества значений х_i, т. е. генеральной совокупности выбирают (измеряют) лишь конечное число значений величины х_i (равное n), называемых выборкой. Выборка характеризуется уже выборочным средним значением и выборочной дисперсией.

Тогда выборочная средняя квадратическая погрешность отдельного измерения (или эмпирический стандарт)

, (2.8)

а выборочная средняя квадратическая погрешность ряда измерений

. (2.9)

Из выражения (2.9) видно, что, увеличивая число измерений, можно сделать сколь угодно малой среднюю квадратическую погрешность . При n > 10 заметное изменение величины  достигается лишь при весьма значительном числе измерений, поэтому дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно. К тому же, невозможно полностью исключить систематические погрешности, и при , меньшей систематической ошибки дальнейшее увеличение числа опытов также не имеет смысла.

Таким образом, задача нахождения приближенного значения физической величины и его погрешности решена. Теперь необходимо определить надежность найденного действительного значения. Под надежностью измерений понимают вероятность попадания истинного значения в данный доверительный интервал. Интервал (– e,+ e), в котором находится с заданной вероятностью истинное значение х₀, называют доверительным интервалом. Допустим, что вероятность отличия результата измерений х от истинного значения х₀ на величину, большую, чем e, равна 1 – a, т. е.

p(– e< х₀ <+ e) = 1 – a. (2.10)

В теории ошибок обычно под e понимают величину . Поэтому

 p(– < х₀ <+ ) = Ф(t), (2.11)

где Ф(t) – интеграл вероятности (или функция Лапласа), а также нормальная функция распределения:

, (2.12) где .

Таким образом, чтобы охарактеризовать истинное значение, требуется знать как погрешность, так и надежность. Если доверительный интервал увеличивается, то возрастает надежность того, что истинное значение х₀ попадает в данный интервал. Высокая степень надежности необходима при ответственных измерениях. Это означает, что в таком случае нужно выбирать большой доверительный интервал или вести измерения с большей точностью (т. е. уменьшить величину ), что можно сделать, например, многократным повторением измерений.

Под доверительной вероятностью понимается вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.

В подавляющем большинстве экспериментальных задач доверительная вероятность составляет 0.90.95 и более высокая надежность не требуется. Так при t = 1 согласно формулам (2.10 –2.12) 1 – a = Ф(t) = 0.683, т. е. более 68 % измерений находится в интервале (–,+). При t = 2 1 – a = 0.955, а при t = 3 параметр 1 – a = 0.997. Последнее означает, что в интервале (–,+) находятся почти все измеренные значения. Из данного примера видно, что интервал  действительно содержит большин­ство измеренных значений, т. е. параметр a может служить хорошей характеристикой точности измерений.

До сих пор предполагалось, что число измерений хотя и конечно, но достаточно велико. В действительности же число измерений почти всегда бывает небольшим. Более того, как в технике, так и в научных исследованиях нередко используют результаты двух-трех измерений. В этой ситуации величины  и  в лучшем случае могут определить лишь порядок величины дисперсии. Существует корректный метод для определения вероятности нахождения искомого значения в заданном доверительном интервале, основанный на использовании распределения Стьюдента (предложенного в 1908 г. английским математиком В.С. Госсетом). Обозначим через  интервал, на который может отклоняться среднее арифметическое значение от истинного значения х₀, т. е. Dx = х₀ ­–. Иными словами, мы хотим определить значение

.

Тогда

, (2.13)

где S_n определяется формулой (2.8). Эта величина подчиняется распределению Стьюдента. Распределение Стьюдента характерно тем, что не зависит от параметров х₀ и s нормальной генеральной совокупности и позволяет при небольшом числе измерений (n < 20) оценить погрешность Dx = ­­– х_i по заданной доверительной вероятности a или по заданному значению Dx найти надежность измерений. Это распределение зависит только от переменной t_a и числа степеней свободы l = n – 1.

Распределение Стьюдента справедливо при n2 и симметрично относительно t_a = 0 (см. рис. 3). С ростом числа измерений t_a-распределение стремится к нормальному распределению (фактически при n > 20).

Доверительную вероятность при заданной погрешности результата измерений получают из выражения

p(–< х₀ <+) = 1 – a. (2.14)

При этом величина t_a аналогична коэффициенту t в формуле (2.11). Величину t_a называют коэффициентом Стьюдента, его значения приводятся в справочных таблицах. Используя соотношения (2.14) и справочные данные можно решить и обратную задачу: по заданной надежности a определить допустимую погрешность результата измерений.

Распределение Стьюдента позволяет также установить, что с вероятностью, как угодно близкой к достоверности, при достаточно большом n среднее арифметическое значение  будет как угодно мало отличаться от истинного значения х₀.

Предполагалось, что закон распределения случайной погрешности известен. Однако часто при решении практических задач не обязательно знания закона распределения, достаточно лишь изучить некоторые числовые характеристики случайной величины, например среднее значение и дисперсию. При этом вычисление дисперсии позволяет оценить доверительную вероятность даже в случае, когда закон распределения погрешности неизвестен или отличается от нормального.

В случае, если проведено всего одно измерение, точность измерения физической величины (если оно проведено тщательно) характеризуется точностью измерительного прибора.

3. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Часто при проведении эксперимента встречается ситуация, когда искомые величины и(х_i) непосредственно определить невозможно, однако можно измерить величины х_i.

Например, для измерения плотности r чаще всего измеряют массу m и объем V, а значение плотности рассчитывают по формуле r = m/V.

Величины х_i содержат, как обычно, случайные погрешности, т. е. наблюдают величины x_i' = x_iDx_i. Как и ранее, считаем, что x_i распределены по нормальному закону.

1. Пусть и = f(х) является функцией одной переменной. В этом случае абсолютная погрешность

. (3.1)

Относительная погрешность результата косвенных измерений

. (3.2)