Пусть и = f(х, у) является функцией двух переменных. Тогда абсолютная погрешность

2. Пусть и = f(х, у) является функцией двух переменных. Тогда абсолютная погрешность

, (3.3)

а относительная погрешность составит

. (3.4)

3. Пусть и = f(х, у, z, …) является функцией нескольких переменных. Тогда абсолютная погрешность по аналогии

(3.5)

и относительная погрешность

, (3.6)

где , и  определяются согласно формуле (2.9).

В таблице 2 приводятся формулы для определения погрешностей косвенных измерений для некоторых часто встречающихся формул.

Таблица 2

Функция u	Абсолютная погрешность Du	Относительная погрешность du
ex
ln x
sin x
cos x
tg x
ctg x
xy
xy
x/y

4. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Все приведенные выше доверительные оценки как средних значений, так и дисперсий основаны на гипотезе нормальности закона распределения случайных ошибок измерения и поэтому могут применяться лишь до тех пор, пока результаты эксперимента не противоречат этой гипотезе.

Если результаты эксперимента вызывают сомнение в нормальности закона распределения, то для решения вопроса о пригодности или непригодности нормального закона распределения нужно произвести достаточно большое число измерений и применить одну из описанных ниже методик.

Проверка по среднему абсолютному отклонению (САО). Методика может использоваться для не очень больших выборок (n < 120). Для этого вычисляется САО по формуле:

. (4.1)

Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение

. (4.2)

Если данное неравенство (4.2) выполняется, то гипотеза нормальности распределения подтверждается.

Проверка по критерию соответствия c² ("хи-квадрат") или критерию согласия Пирсона. Критерий основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими, которые можно ожидать при принятии гипотезы о нормальности распределения. Результаты измерений после исключения грубых и систематических ошибок группируют по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали всю ось и чтобы количество данных в каждом интервале было достаточно большим (не менее пяти). Для каждого интервала (х_{i –1}, х_i) подсчитывают число т_i результатов измерения, попавших в этот интервал. Затем вычисляют вероятность попадания в этот интервал при нормальном законе распределения вероятностей р_i:

, (4.3)

Далее вычисляют сумму

, (4.4)

где l – число всех интервалов, n – число всех результатов измерений (n = т₁ + т₂ +…+ т_l).

Если сумма, рассчитанная по данной формуле (4.4) окажется больше критического табличного значения c², определяемого при некоторой доверительной вероятности р и числе степеней свободы k = l – 3, то с надежностью р можно считать, что распределение вероятностей случайных ошибок в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.

Проверка по показателям асимметрии и эксцесса. Данный метод дает приближенную оценку. Показатели асимметрии А и эксцесса Е определяются по следующим формулам:

, (4.5)

. (4.6)

Если распределение нормально, то оба эти показателя должны быть малы. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками. Коэффициенты сравнения рассчитываются соответственно:

, (4.7)

. (4.8)

Распределение можно считать нормальным, если коэффициенты С_А и С_Е не превышают величины 2…3.

5. МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГРУБЫХ ОШИБОК

При получении результата измерения, резко отличающегося от всех других результатов, возникает подозрение, что допущена грубая ошибка. В этом случае необходимо сразу же проверить, не нарушены ли основные условия измерения. Если же такая проверка не была сделана вовремя, то вопрос о целесообразности браковки резко отличающихся значений решается путем сравнения его с остальными результатами измерений. При этом применяются различные критерии, в зависимости от того, известна или нет средняя квадратическая ошибка s_i измерений (предполагается, что все измерения производятся с одной и той же точностью и независимо друг от друга).

Метод исключения при известной s_i. Сначала определяется коэффициент t по формуле

, (5.1)

где x* – резко выделяющееся значение (предполагаемая ошибка). Значение  определяется по формуле (2.1) без учета предполагаемой ошибки x*.

Далее задаются уровнем значимости a, при котором исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше величины a. Обычно используют один из трех уровней значимости: 5 % уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0.05); 1 % уровень (соответственно меньше 0.01) и 0.1 % уровень (соответственно менее 0.001).

При выбранном уровне значимости a выделяющееся значение x* считают грубой ошибкой и исключают его из дальнейшей обработки результатов измерений, если для соответствующего коэффициента t, рассчитанного по формуле (5.1), выполняется условие: 1 – Ф(t) < a.

Метод исключения при неизвестной s_i.

Если средняя квадратическая ошибка отдельного измерения s_i заранее неизвестна, то она оценивается приближенно по результатам измерений посредством формулы (2.8). Далее применяется тот же алгоритм, что и при известной s_i с той лишь разницей, что в формуле (5.1) вместо s_i используется величина S_n, рассчитанная по формуле (2.8).

Правило трех сигм.

Так как выбор надежности доверительной оценки допускает некоторый произвол, в процессе обработки результатов эксперимента широкое распространение получило правило трех сигм: отклонение истинного значения измеряемой величины не превосходит среднего арифметического значения результатов измерений не превосходит утроенной средней квадратической ошибки этого значения.

Таким образом, правило трех сигм представляет собой доверительную оценку в случае известной величины s

(5.2)

или доверительную оценку

(5.3)

в случае неизвестной величины s.

Первая из этих оценок имеет надежность 2Ф(3) = 0.9973 независимо от количества измерений.

Надежность второй оценки существенно зависит от количества измерений n.

Зависимость надежности р от количества измерений n для оценки грубой ошибки в случае неизвестной величины s указана в

Таблица 4

n	5	6	7	8	9	10	14	20	30	50	150
р(х)	0.960	0.970	0.976	0.980	0.983	0.985	0.990	0.993	0.995	0.996	0.997	0.9973

6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Результаты измерений можно представить в виде графиков и таблиц. Последний способ наиболее прост. В ряде случаев результаты исследований можно представлять только в виде таблицы. Но таблица не дает наглядного представления о зависимости одной физической величины от другой, поэтому во многих случаях строят график. Им можно пользоваться для быстрого нахождения зависимости одной величины от другой, т. е. по измеренным данным находят аналитическую формулу, связывающую величины х и у. Такие формулы называют эмпирическими. Точность нахождения функции у(х) по графику определяется корректностью построения графика. Следовательно, когда не требуется большой точности, графики удобнее таблиц: они занимают меньше места, по ним быстрее проводить отсчеты, при построении их сглаживаются выбросы в ходе функции из-за случайных погрешностей измерений. Если требуется особо высокая точность, результаты эксперимента предпочтительнее представлять в виде таблиц, а промежуточные значения находить по интерполяционным формулам.

Математическая обработка результатов измерений экспериментатором не ставит задачу раскрыть истинный характер функциональной зависимости между переменными, а лишь дает возможность наиболее простой формулой описать результаты эксперимента, что позволяет использовать интерполирование и применить к наблюдаемым данным методы математического анализа.

Графический метод. Чаще всего для построения графиков используют прямоугольную систему координат. Чтобы облегчить построение, можно использовать миллиметровую бумагу. При этом отсчеты расстояний на графиках следует делать только по делениям на бумаге, а не при помощи линейки, так как длина делений может быть различной по вертикали и горизонтали. Предварительно нужно выбрать разумные масштабы по осям так, чтобы точность измерения соответствовала точности отсчета по графику и график не был растянут или сжат вдоль одной из осей, так как это ведет к увеличению погрешности отсчета.

Далее на график наносят точки, представляющие результаты измерений. Для выделения разных результатов их наносят различными значками: кружками, треугольниками, крестиками и т. п. Так как в большинстве случаев погрешности значений функции больше погрешностей аргумента, то наносят только погрешность функции в виде отрезка длиной, равной удвоенной погрешности в данном масштабе. При этом экспериментальная точка находится в середине этого отрезка, который с обоих концов ограничивается черточками. После этого проводят плавную кривую так, чтобы она проходила возможно ближе ко всем экспериментальным точкам и примерно одинаковое число точек находилось по обеим сторонам кривой. Кривая должна (как правило) лежать в пределах погрешностей измерений. Чем меньше эти погрешности, тем лучше кривая совпадает с экспериментальными точками. Важно отметить, что лучше провести плавную кривую вне пределов погрешности, чем допустить излом кривой вблизи отдельной точки. Если одна или несколько точек лежат далеко от кривой, то это часто свидетельствует о грубой ошибке при вычислении или измерении. Кривые на графиках чаще всего строят с помощью лекал.

Не следует брать очень много точек при построении графика плавной зависимости и только для кривых с максимумами и минимумами необходимо в области экстремума наносить точки более часто.

При построении графиков часто используют прием, называемый способом выравнивания или способом натянутой нити. Он основан на геометрическом подборе прямой "на глаз".

Если этот прием не удается, то во многих случаях преобразование кривой в прямую достигается применением одной из функциональных шкал или сеток. Чаще всего применяются логарифмическая или полулогарифмическая сетки. Этот прием полезен и в тех случаях, когда нужно растянуть или сжать какой-либо участок кривой. Так, логарифмический масштаб удобно использовать для изображения изучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Этот метод рекомендуется для нахождения приближенных значений коэффициентов в эмпирических формулах или для измерений с невысокой точностью данных. Прямой линией при использовании логарифмической сетки изображается зависимость типа , а при использовании полулогарифмической сетки – зависимость типа . Коэффициент В₀ в некоторых случаях может быть равен нулю. Однако, при использовании линейного масштаба все значения на графике отсчитывают с одинаковой абсолютной точностью, а при использовании логарифмического масштаба – с одинаковой относительной точностью.

Следует также заметить, что часто бывает трудно по имеющемуся ограниченному участку кривой (особенно, если не все точки лежат на кривой) судить о том, какого типа функцию необходимо использовать для приближения. Поэтому переводят экспериментальные точки на ту или иную координатную сетку и уже потом смотрят, на какой из них полученные данные ближе всего совпадают с прямой, и в соответствии с этим выбирают эмпирическую формулу.

Подбор эмпирических формул. Хотя нет общего метода, который давал бы возможность подобрать наилучшую эмпирическую формулу для любых результатов измерений, все же можно найти эмпирическое соотношение, наиболее точно отражающее искомую зависимость. Не следует добиваться полного совпадения между экспериментальными данными и искомой формулой, так как интерполяционный многочлен или другая аппроксимирующая формула будет повторять все погрешности измерений, а коэффициенты не будут иметь физического смысла. Поэтому, если не известна теоретическая зависимость, то выбирают такую формулу, которая лучше совпадает с измеренными значениями и содержит меньше параметров. Для определения подходящей формулы экспериментальные данные изображают графически и сравнивают с различными кривыми, которые строят по известным формулам в том же масштабе. Изменяя параметры в формуле, можно в определенной степени менять вид кривой. В процессе сравнения необходимо учитывать имевшиеся экстремумы, поведение функции при различных значениях аргумента, выпуклость или вогнутость кривой на разных участках. Подобрав формулу, определяют значения параметров так, чтобы различие между кривой и экспериментальными данными было не больше погрешностей измерений.

На практике наиболее часто используются линейная, показательная и степенная зависимости.

7. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

 

Интерполирование. Под интерполированием понимают, во-первых, нахождение значений функции для промежуточного значений аргумента, отсутствующих в таблице и, во-вторых, замену функции интерполирующим многочленом, если аналитическое выражение ее неизвестно, а функция должна подвергаться определенным математическим операциям. Наиболее простые способы интерполирования – линейное и графическое. Линейное интерполирование можно применять тогда, когда зависимость у(х) выражается прямой линией или кривой, близкой к прямой, для которой такое интерполирование не приводит к грубым погрешностям. В некоторых случаях можно проводить линейное интерполирование и при сложной зависимости у(х), если оно ведется в пределах настолько малого изменения аргумента, что зависимость между переменными можно считать линейной без заметных погрешностей. При графическом интерполировании неизвестную функцию у(х) заменяют ее приближенным графическим изображением (по экспериментальным точкам или табличным данным), из которого определяют значения у при любых х в пределах измерений. Однако точное графическое построение сложных кривых иногда оказывается очень трудным, например кривой с резкими экстремумами, поэтому графическое интерполирование имеет ограниченное применение.

Таким образом, во многих случаях невозможно применить ни линейного, ни графического интерполирования. В связи с этим были найдены интерполирующие функции, позволяющие вычислить значения у с достаточной точностью для любой функциональной зависимости у(х) при условии, что она является непрерывной. Интерполирующая функция имеет вид

, (7.1)

где B₀, B₁, … B_n – определяемые коэффициенты. Так как данный многочлен (7.1) изображается кривой параболического типа, то такая интерполяция называется параболической.

Коэффициенты интерполирующего многочлена находят, решая систему из (l + 1) линейных уравнений, получающихся при подстановке в уравнение (7.1) известных значений у_i и х_i.

Наиболее просто производится интерполирование, когда интервалы между значениями аргумента постоянны, т. е.

, (7.2)

где h – постоянная величина, называемая шагом. В общем случае

. (7.3)

При использовании интерполяционных формул приходится иметь дело с разностями значений у и разностями этих разностей, т. е. разностями функции у(х) различных порядков. Разности любого порядка вычисляются по формуле

. (7.4)

Например,

и .

При вычислении разностей их удобно располагать в виде таблицы (см. Табл. 4), в каждом столбце которой разности записывают между соответствующими значениями уменьшаемого и вычитаемого, т. е. составляется таблица диагонального типа. Обычно разности записывают в единицах последнего знака.

Таблица 4

Разности функции у(х)

x	y	Dy	D2y	D3y	D4y
x0	у0	Dу0 Dу1 Dу2 Dу3	D2у0 D2у1 D2у2
x1	у1			D3у0 D3у1
x2	у2				D4у0
x3	у3
х4	у4

Так как функция у(х) выражается многочленом (7.1) n-ой степени относительно х, то разности также являются многочленами, степени которых понижаются на единицу при переходе к последующей разности. N-я разность многочлена n-ой степени является постоянным числом, т. е. содержит х в нулевой степени. Все разности более высокого порядка равны нулю. Это определяет степень интерполирующего многочлена.

Преобразовав функцию (7.1), можно получить первую интерполяционную формулу Ньютона:

. (7.5)

Она используется для нахождения значений у при любых х в пределах измерений. Представим эту формулу (7.5) в несколько ином виде:

. (7.6)

Последние две формулы иногда называют интерполяционными формулами Ньютона для интерполирования вперед. В эти формулы входят разности, идущие по диагонали вниз, и их удобно использовать в начале таблицы экспериментальных данных, где разностей достаточно.

Вторая интерполяционная формула Ньютона, выведенная из того же уравнения (7.1), выглядит следующим образом:

. (7.7)

Данную формулу (7.7) принято называть интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад. Она используется для определения значений у в конце таблицы.

Теперь рассмотрим интерполяцию при неравноотстоящих значениях аргумента.

Пусть по-прежнему функция у(х) задается рядом значений х_i и у_i, но интервалы между последовательными значениями х_i неодинаковы. Использовать вышеприведенные формулы Ньютона нельзя, так как они содержат постоянный шаг h. В задачах такого рода необходимо вычислить приведенные разности:

;  и т. д.

;  и т. д. (7.8)

Разности более высоких порядков вычисляются аналогично. Как и для случая равноотстоящих значений аргумента, если f(х) – многочлен n-ой степени, то разности n-го порядка постоянны, а разности более высокого порядка равны нулю. В простых случаях таблицы приведенных разностей имеют вид, аналогичный таблицам разностей при равноотстоящих значениях аргумента.

Помимо рассмотренных интерполяционных формул Ньютона часто применяют интерполяционную формулу Лагранжа:

. (7.9)

В этой формуле каждое из слагаемых представляет собой многочлен n-ой степени и все они равноправны. Поэтому до окончания вычислений нельзя пренебрегать какими-либо из них.

Обратное интерполирование. На практике иногда бывает необходимо найти значение аргумента, которому соответствует определенное значение функции. В этом случае интерполируют обратную функцию и следует иметь в виду, что разности функции не постоянны и интерполирование нужно проводить для неравноотстоящих значений аргумента, т. е. использовать формулу (7.8) или (7.9).

Экстраполирование. Экстраполированием называют вычисление значений функции у за пределами интервала значений аргумента х, в котором были проведены измерения. При неизвестном аналитическом выражении искомой функции экстраполирование нужно проводить весьма осторожно, так как не известно поведение функции у(х) за пределами интервала измерений. Экстраполяция допускается, если ход кривой плавный и нет причин ждать резких изменений в исследуемом процессе. Тем не менее экстраполирование должно проводиться в узких пределах, например в пределах шага h. В более далеких точках можно получить неверные значения у. Для экстраполирования применяются те же формулы, что и для интерполирования. Так, первая формула Ньютона используется при экстраполировании назад, а вторая формула Ньютона – при экстраполировании вперед. Формула Лагранжа применяется в обоих случаях. Надо также иметь в виду, что экстраполирование приводит к большим погрешностям, чем интерполирование.

Численное интегрирование.

Формула трапеций. Формулу трапеций обычно применяют в том случае, если значения функции измерены для равноотстоящих значений аргумента, т. е. с постоянным шагом. По правилу трапеций в качестве приближенного значения интеграла

(7.10)

принимают величину

, (7.11)

Рис. 7.1. Сравнение методов численного интегрирования

т. е. полагают . Геометрическая интерпретация формулы трапеций (см. рис. 7.1) следующая: площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. Полная ошибка вычисления интеграла по формуле трапеций оценивается как сумма двух ошибок: ошибки усечения, вызванной заменой криволинейной трапеции прямолинейными, и ошибки округления, вызванной ошибками измерения значений функции. Ошибка усечения для формулы трапеций составляет

, где . (7.12)

Формулы прямоугольников. Формулы прямоугольников, как и формулу трапеций применяют также в случае равноотстоящих значений аргумента. Приближенная интегральная сумма определяется по одной из формул

, (7.13)

. (7.14)

Геометрическая интерпретация формул прямоугольников дана на рис. 7.1. Погрешность формул (7.13) и (7.14) оценивается неравенством

, где . (7.15)

Формула Симпсона. Приближенно интеграл определяется по формуле

, (7.16)

где n – четное число. Ошибка формулы Симпсона оценивается неравенством

, где . (7.17)

Формула Симпсона приводит к точным результатам для случая, когда подынтегральная функция является многочленом второй или третьей степени.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка у' = f(х, у) с начальным условием у = у₀ при х = х₀. Требуется найти приближенно его решение у = у(х) на отрезке [х₀, х_k].

 

Рис. 7.2. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Для этого данный отрезок делится на n равных частей длиной (х_k – х₀)/n. Поиск приближенных значений у₁, у₂, … , у_n функции у(х) в точках деления х₁, х₂, … , х_n = х_k осуществляется различными методами.

Метод ломаных Эйлера. При заданном значении у₀ = у(х₀) остальные значения у_i у(х_i) последовательно вычисляются по формуле

, (7.18)

где i = 0, 1, …, n – 1.

Графически метод Эйлера представлен на рис. 7.1, где график решения уравнения у = у(х) приближенно представляется ломаной (откуда и происходит название метода). Метод Рунге-Кутта.  Обеспечивает более высокую точность по сравнению с методом Эйлера. Искомые значения у_i последовательно вычисляются по формуле

, (7.19), где,

, , .

ОБЗОР НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Обзор литературы – обязательная часть всякого отчета об исследовании. Обзор должен полно и систематизированно излагать состояние вопроса, позволять объективно оценивать научно-технический уровень работы, правильно выбирать пути и средства достижения поставленной цели и оценивать как эффективность этих средств, так и работы в целом. Предметом анализа в обзоре должны быть новые идеи и проблемы, возможные подходы к решению этих проблем, результаты предыдущих исследований, данные экономического характера, возможные пути решения задач. Противоречивые сведения, содержащиеся в различных литературных источниках, должны быть проанализированы и оценены с особой тщательностью.

Из анализа литературы должно быть видно, что в этом узком вопросе известно вполне достоверно, что сомнительно, спорно; какие задачи в поставленной технической проблеме первоочередные, ключевые; где и как стоит искать их решения.

Затраты времени на обзор складываются примерно так:

выписки из справочников, чтение и конспектирование основных монографий	3 ­– 5 %
составление рабочего плана обзора	1 – 2 %
поиск периодики (и составление картотеки или списка литературы)	5 – 8 %
чтение и конспектирование периодики	30 – 40 %
отбор материала из конспектов, его сопоставление и анализ	20 – 30 %
написание обзора	10 – 20 %
правка текста	10 – 15 %
переписка и изготовление рисунков	5 – 6 %

Исследование всегда имеет узкую конкретную цель. В заключении обзора обоснованы выбор цели и метода. Обзор должен подготовить это решение. Отсюда следует его план и отбор материала. В обзоре рассматривают только такие узкие вопросы, которые могут прямо повлиять на решение задачи, но настолько полно, чтобы охватить практически всю современную литературу по этому вопросу.

ОРГАНИЗАЦИЯ СПРАВОЧНО–ИНФОРМАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

В нашей стране в основу информационной деятельности положен принцип централизованной обработки научных документов, позволяющий с наименьшими затратами достичь полного охвата источников информации, наиболее квалифицированно их обобщить и систематизировать. В результате такой обработки подготавливаются различные формы информационных изданий. К ним относятся:

1) реферативные журналы (РЖ) – основное информационное издание, содержащее преимущественно рефераты (иногда аннотации и библиографические описания) источников, представляющих наибольший интерес для науки и практики. Реферативные журналы, оповещающие о появившейся научно-технической литературе, позволяют осуществлять ретроспективный поиск, преодолевать языковые барьеры, дают возможность следить за достижениями в смежных областях науки и техники;

2) бюллетени сигнальной информации (СИ), включающие в себя библиографические описания литературы, выходящей по определенной отрасли знаний и являющиеся по существу библиографическими указателями. Их основной задачей является оперативное информирование о всех новинках научной и технической литературы, так как появляется эта информация значительно раньше, чем в реферативных журналах;

3) экспресс-информация – информационные издания, содержащие расширенные рефераты статей, описание изобретений и других публикаций и позволяющие не обращаться к первоисточнику. Задача экспресс-информации – быстрое и достаточно полное ознакомление специалистов с новейшими достижениями науки и техники;

4) аналитические обзоры – информационные издания, дающие представление о состоянии и тенденциях развития определенной области (раздела, проблемы) науки и техники;

5) реферативные обзоры – преследующие ту же цель, что и аналитические обзоры, и в то же время носящие более описательный характер. Авторы реферативных обзоров не дают собственной оценки содержащихся в них сведений;

6) печатные библиографические карточки, т. е. полное библиографическое описание источника информации. Относятся к числу сигнальных изданий и выполняют функции оповещения о новых публикациях и возможностях создания каталогов и картотек, необходимых каждому специалисту, научному работнику;

7) аннотированные печатные библиографические карточки;

8) библиографические указатели.

Большая часть этих изданий распространяется и по индивидуальной подписке. Подробные сведения о них можно найти в издаваемых ежегодно "Каталогах изданий органов научно-технической информации".