Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль

3. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль

Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння, яке називається хвильовим.

Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.

Рис. 2

Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука

 (8)

де Е ─ модуль Юнга;  ─ відносна деформація; F ─ зовнішня сила; S ─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х.

В граничному випадку при , рівняння (8) запишеться так

 (9)

Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона

 (10)

Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так

 (11)

Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо

 (12)

де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.

Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так

m = ρSΔx. (13)

Рис.3

З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так

 (14)

Розглянувши граничний випадок при якому, з рівняння (14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням

 (15)

Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі

 (16)

Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (16)

 (17)

Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо

 (18)

Але оскільки , то хвильове рівняння (15) буде мати інший вигляд

 (19)

Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини

 (20)

Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.

Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (20) на модуль зсуву G

 (21)

Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто

 (22)

Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (15) і (19) будуть нелінійними.

Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:

 (23)

Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.