Фазовая скорость, групповая скорость и скорость переноса энергии

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 621.372

Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В.

Фазовая скорость, групповая скорость

И СКОРОСТЬ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ

(работа депонирована в ВИНИТИ)

ВОРОНЕЖ 2002

Введение

Движение электромагнитного поля, созданного системой зарядов или электромагнитной волной, связано с переносом электромагнитной энергии и с перемещением вектора напряженности этого поля. Как известно, напряженность электрического поля числено равна силе, которая действует на единичный положительный точечный заряд, покоящийся в системе отсчета наблюдателя. Напряженность электрического поля перемещается с фазовой скоростью. Поэтому фазовую скорость мы можем назвать скоростью перемещения силовой характеристики этого поля.

 Скорость переноса энергии характеризует движение энергии электрического или магнитного полей. Необходимость введения этого понятия возникла из-за широкого использования в радиоэлектронике линий передач энергии и информации с дисперсионными свойствами. Это волноводы, замедляющие структуры, которые используются в электронных приборах СВЧ, в антеннах поверхностных волн, ускорителях и т.д.

В физике используется понятие групповой скорости. Групповая скорость это скорость перемещения волнового пакета, т.е. пакета, образованного группой волн. Поскольку электромагнитная энергия сосредоточена в этом пакете, групповая скорость стала интерпретироваться как скорость переноса энергии и начала играть ее роль. Однако применение понятия групповой скорости к монохроматической волне приводит к парадоксам. Мы начнем анализ с изложения доказательства, в котором вводится это понятие.

1.Групповая скорость.

Рассмотрим один из вариантов традиционного доказательства, где появляется понятие групповой скорости (см. [1] и т.д.). Пусть на входе линии передачи с дисперсией действует радиосигнал с узким cпектром S(iW).  (1.1)

где: w_о - несущая частота радиосигнала, w_o>>W;

  (1.2)

- комплексная амплитуда (огибающая радиоимпульса).

Допустим, что линия без потерь имеет следующий коэффициент передачи (1.3)

где: g(w) = w / v_p - постоянная распространения; v_p – фазовая скорость волны;

l - длина лини; w=w_o + W.

В этом случае сигнал на выходе линии передачи энергии будет равен:

(1.4)

Рис. 1

Учитывая, что сигнал узкополосный, разложим g(w) в ряд по степеням W в окрестности несущей частоты w_о. Ограничиваясь двумя первыми членами разложения, запишем сигнал на выходе линии передачи энергии.

(1.5)

Как видно из выражения (1.5), огибающая узкополосного сигнала сохраняет свою форму, но запаздывает на некоторое время. Она как бы перемещается со скоростью v_g.

(1.6)

Эта скорость получила название групповой скорости.

Таким образом, групповая скорость есть скорость перемещения волнового пакета. Поскольку энергия радиосигнала сосредоточена в этом волновом пакете, групповую скорость стали отождествлять со скоростью переноса энергии волной.

2. Парадокс.

Кажется, что изложенный выше подход согласуется со здравым смыслом. Однако, в линиях с аномальной дисперсией возникают парадоксы. Напомним классификацию которая существует в настоящее время.

а) Нормальная (положительная) дисперсия имеет место, если фазовая и групповая скорости имеют одинаковое направление (произведение v_pv_g>0).

б) Аномальная (отрицательная) дисперсия имеет место, если фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны (произведение v_pv_g<0). Это означает, что фаза волны и волновой пакет движутся в противоположных направлениях.

Допустим, что в начале линии передачи с аномальной дисперсией расположен генератор монохроматической волны (cм. рис. 1). Имеется два варианта объяснения. Однако, любой из двух вариантов не дает удовлетворительного объяснения парадокса.

 

Рис. 2.

Вариант 1. Пусть фазовая скорость волны направлена от генератора вдоль оси х (запаздывающий потенциал). Мы считаем, что групповая скорость это скорость переноса энергии. Следовательно, энергия, которую переносит волна, движется к генератору (?!).

Вариант 2. Допустим, что групповая скорость направлена от генератора вдоль оси х. Теперь фаза волны движется к источнику (?!). Мы имеем дело с опережающим потенциалом и принцип причинности нарушается.

Более того, в линиях передачи с аномальной дисперсией имеет место еще одно противоречие. Вектор Пойнтинга S и вектор v_g имеют противоположные направления. Этот важный факт остался незамеченным исследователями.