Метрическая система мер

1.2 Метрическая система мер

Отсутствие рациональных обоснований при выборе единиц ФВ привело к их большому разнообразию не только в разных странах, но даже в разных местностях одной страны. Это создавало большие трудности, особенно в международных отношениях. Возникла метрическая система мер, т.е. совокупность единиц ФВ, рекомендованных вместо применявшихся ранее.

Были приняты единицы: длины – метр (м), массы – килограмм (кг), объема – литр (л), времени - секунда (с).

Были также введены десятичные кратные и дольные единицы ФВ, т. е. единицы ФВ, в 10 в целой степени раз большие и меньшие, и установлены простые правила присвоения наименований кратным и дольным единицам ФВ применением приставок: кило, гекто, дека, деци, санти и милли [например, сантиметр (см), миллиметр (мм), декалитр (дал) и т. п.]

Это давало единицам метрической системы (метрическим единицам ФВ) существенное преимущество перед существовавшими в то время другими. Кроме того, метрические единицы ФВ позволяли не применять составные именованные числа (например, длина 8 саженей 3 фута 5 дюймов) и значительно облегчали расчеты.

1.3 Системы единиц физических величин

Построение единиц и систем единиц. Раньше единицы различных ФВ устанавливались, как правило, независимо друг от друга. Исключениями были лишь единицы длины, площади и объема. Основной особенностью современных единиц ФВ является то, что между ними устанавливают зависимости. При этом произвольно выбирают несколько основных единиц ФВ, а все остальные — производные единицы ФВ получают при помощи зависимостей (законов и определений), связывающих различные ФВ, т.е. определяющих уравнений.

Физические величины, единицы которых приняты в качестве основных, называются основными ФВ, а единицы которых являются производными, называются производными ФВ.

Совокупность основных и производных единиц ФВ, охватывающая все или некоторые области физики, называется системой единиц ФВ.

Рассмотрим примеры установления производных единиц ФВ при выбранных в качестве основных ФВ длины L, массы М и времени Т, т.е. при выбранных основных единицах ФВ [L], [М] и [Т].

Пример 1. Установление единицы площади. Выберем какую-либо простую геометрическую фигуру, например круг. Размер площади s круга пропорционален второй степени размера его диаметра d: s = k_S d², где k_S — коэффициент пропорциональности. Это уравнение и возьмем в качестве определяющего. Положив размер диаметра круга равным единице длины, т. е. d = [L], получим [s] = k_S [L]². Выбор коэффициента пропорциональности k_S произволен Пусть k_S = l, тогда [s] = [L]², т. е. за единицу площади выбрана площадь круга, диаметр которого равен единице длины. Если [L] = 1 м, то [s] = 1 м ². Площадь круга в этом случае нужно вычислять по формуле s = d², а площадь квадрата со стороной b — по формуле s = (4/p)b².

Обычно вместо такой круглой единицы площади применяют более удобную квадратную единицу, представляющую собой площадь квадрата со стороной, равной единице длины.

Если бы при установлении круглой единицы площади было принято k_S = p/4, то она совпала бы с обычной квадратной единицей.

Пример 2. Установление единицы скорости. В качестве определяющего примем уравнение, показывающее, что размер скорости и равномерного движения тем больше, чем больше размер l пройденного пути и чем меньше размер затраченного на этот путь времени Т:

u = k_u (l/T),

где k_u — коэффициент пропорциональности.

Полагая l = [L], Т = [Т], получаем единицу скорости [u]=k_u k_u [L] [T]^-1. Если из соображений удобства положим k_u= l, то единица скорости будет [u] = [L] [T]^-1. При [L] = 1 ми [Т] = 1с согласно последней формуле [u] = 1 м/с.

Пример 3. Установление единицы ускорения. В качестве определяющего уравнения возьмем определение ускорения как производную скорости по времени: a = du/dT. Полагая du = [u], dT = [Т], получаем единицу ускорения: [а] =  При [L] = 1 м и [Т] = 1с [а] = 1 м/с².

Пример 4. Установление единицы силы. Выберем в качестве определяющего уравнение закона всемирного тяготения

f =  где m₁ и m₂ — размеры масс тел;

r – размер расстояния между центрами этих масс;

k_f - коэффициент пропорциональности.

Полагая m₁ = m₂ [М], r = [L], получаем единицу силы

или при k_f =1 [f] = [M]² [L]^-2. При [L] = 1 м и [М] = 1 кг согласно последней формуле [f] = 1 кг²/м².

Выбирая в качестве определяющего уравнение второго закона Ньютона f = = k_f ma, получаем аналогично предыдущему единицу силы в виде [f] = k_f [M] * [а] = k_f [М] [L] [Т]^-2, или в виде [f] = [М] [L] [Т]^-2. При [М] = 1 кг, [L] = 1 м и [Т] = 1с согласно последней формуле [f] = 1 кг м/с².

Обе полученные единицы силы равноправны, однако вторая широко распространена, а первая употребляется редко (преимущественно в астрономии).

Из рассмотренных примеров видно, что при выбранных основных ФВ — длине L, массе М и времени Т, производная единица [х] некоторой ФВ х находится через единицы [L], [М] и [Т] по формуле:

[x] = k_x [L]^pL [M]^pM [T]^pT,

где k_x – произвольно выбираемый коэффициент пропорциональности;

p_L, р_М и р_Т – положительные или отрицательные числа.

Эти числа показывают, как изменяется производная единица ФВ с изменением основной. Например, с изменением основной единицы [L] в q раз производная единица [х] изменится в q^pL раз. Так как k_x при этом на изменение [х] не влияет, то характер изменения единицы [х] с изменением единиц [L], [М] и [Т] выражают обычно при помощи формул размерности, в которых k_x = 1. В рассматриваемом случае формула размерности имеет вид

dim x = L^pL M^pL T^pT,

где правая часть называется размерностью единицы ФВ; левая часть – обозначение этой размерности (dimension);

p_L, р_М и р_Т – показатели размерности.

Из формулы размерности видно так же, как изменяется размер производной ФВ с изменением размера основной ФВ при выбранном определяющем уравнении. Правую часть этой формулы называют и размерностью ФВ.

Рассмотрим общий случай, когда имеется несколько основных ФВ А, В, С, D, ..., единицы которых [А], [В], [С], [D], ..... Тогда, очевидно, установление производной единицы ФВ х сведется к выбору какого-либо определяющего уравнения, связывающего х с другими (основными и производными) ФВ, к приведению этого уравнения к виду:

х = k_x A^pA B^pB C^pCD^pD…,

где р_A, р_B, р_C, p_D, ... — показатели размерности, и к замене основных ФВ их единицами:

[x] = k_x [A]^pA [B]^pB [C]^pC [D]^pD…

Формула размерности в этом случае будет иметь вид:

dim x = A^pA B^pB C^pC D^pD…

Известно, что производная единица ФВ х обладает размерностью р_А относительно основной единицы ФВ А, размерностью р_B относительно основной единицы ФВ В и т.д. (или что производная ФВ обладает размерностью р_А относительно основной ФВ А, размерностью р_B относительно основной ФВ В и т. д.). Так, рассмотрев размерность скорости (пример 2) LT^-1, или L¹M⁰T^-1, можно сказать, что скорость обладает размерностью 1 относительно длины, нулевой размерностью относительно массы и размерностью -1 относительно времени (единица скорости обладает размерностью 1 относительно единицы длины и т.д.).

Если р_А = р_B= р_C = р_D = … = 0, то производная ФВ х называется безразмерной ФВ, а ее единица [х] – безразмерной единицей ФВ*.

Примером безразмерной производной единицы ФВ может служить единица [φ] плоского угла φ – радиан. При установлении этой единицы в качестве определяющего принято уравнение φ = = k_φ (l/r), показывающее, что размер угла φ тем больше, чем больше размер длины l, стягивающей его дуги и чем меньше размер длины r радиуса этой дуги. В уравнении принято k_φ = 1, l = [L], r = [L]. Следовательно [φ] = = [L]⁰ и dim φ = L⁰.

Если при установлении производной единицы ФВ в ее выражении через основные единицы ФВ полагают k_x = 1, то она называется когерентной производной единицей ФВ. Система единиц ФВ, все производные единицы которой когерентны, называется когерентной системой единиц ФВ.

Размерности производных единиц ФВ х, у и z связаны между собой следующим образом. Если z = k₁xy, то

dim z — dim х * dim у. (1.2)

Если z = k₂, то

dim z — dim х/dim у. (1.3)

Если z = k₃xⁿ, то

dim z — (dim х)ⁿ. (1.4)

Равенствами (1.2) и (1.3) мы пользовались при установлении единиц ускорения и силы, а равенство (1.4) – следствие равенства (1.2).

Формулы размерности удается написать лишь для таких ФВ, при измерении которых удовлетворяется условие однозначности измерений. Размерности различных ФВ могут совпадать (например, момента силы и работы), а размерности одной и той же ФВ в разных системах единиц ФВ могут различаться (см. пример 4, где разные определяющие уравнения привели нас к разным размерностям единиц силы и, следовательно, к разным размерностям силы). Следовательно размерности не дают полного представления о ФВ. Однако несовпадение размерностей левой и правой частей любой формулы или любого уравнения свидетельствует об ошибочности этой формулы или этого уравнения. Кроме того, понятие размерности облегчает решение многих задач. Если предварительно известно, какие ФВ участвуют в исследуемом процессе, то можно с помощью анализа размерностей установить характер зависимости между размерами этих ФВ. При этом решение задачи часто оказывается гораздо более простым, чем если бы оно велось другими способами.

Существенно, что при математической формулировке физических явлений под символами ФВ подразумевают не сами ФВ и не их размеры, а значения ФВ, т. е. именованные числа. Например, в уравнении f = k_fma, выражающем второй закон Ньютона, под символами т и а подразумеваются не сами ФВ (масса и ускорение) и не размеры массы и ускорения, которые невозможно умножить друг на друга, а значения массы и ускорения, т. е. именованные числа, отражающие размеры массы и ускорения, и для которых операция умножения имеет смысл.