Механічні гармонічні коливання

2. Механічні гармонічні коливання

Нехай матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання уздовж осі координат x біля положення рівноваги, прийнятого за початок координат. Тоді залежність координати x від часу t задається рівнянням (1),

 (9)

Відповідно до виразів (4) і (5) швидкість  і прискорення а коливної точки будуть дорівнювати:

 (10)

Сила F = ma, що діє на коливну матеріальну точку масою т, у відповідності з рівнянням (1) дорівнює

Отже сила, яка діє на матеріальну точку при гармонічних коливаннях, пропорційна зміщенню матеріальної точки від положення рівноваги і спрямована в протилежну сторону.

Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює прямолінійні гармонійні коливання, дорівнює

 (11)

або

К = (12)

Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F, дорівнює

 

П = - (13)

або

 

П = (14)

Рис. 3

Додавши (13) і (14), одержимо формулу для повної енергії гармонічного коливання:

 (15)

З формул (12) і (14) видно, що К і Π змінюються в часі з частотою, яка у два рази перевищує частоту гармонічного коливання. На рис. 3 показані графіки залежності х, К і Π від часу.

Оскільки середні значення  то з формул (11), (13) і (15) випливає, що

 

3. Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і математичний маятники

Гармонічним осцилятором називається система, яка описується диференціальним рівнянням виду (6):

 (16)

Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і служать точною або наближеною моделлю в багатьох задачах класичної і квантової фізики. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, щоб елементи контуру можна було вважати лінійними).

Пружинний маятник. Пружинний маятник – невеличке тіло масою т, яке підвішене до абсолютно пружної пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = - kx, де k - коефіцієнт пружності, у випадку пружини, названий жорсткістю (рис. 4).

Рис.4

Диференціальне рівняння коливання маятника буде мати вигляд

або

 (17)

З виразів (16) і (1) випливає, що пружинний маятник виконує гармонічні коливання за законом  з циклічною частотою

 і періодом  

Формула (17) справедлива для пружних коливань у межах, для яких виконується закон Гука, тобто коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.

В цьому випадку потенціальна енергія пружинного маятника, згідно (13) дорівнює

 (18)

Фізичний маятник. Фізичний маятник – тверде тіло, яке під дією сили тяжіння виконує гармонічні коливання відносно нерухомої горизонтальної осі або підвісу, що не збігається з центром мас С тіла (рис. 5).

Якщо маятник відхилений від положення рівноваги на деякий кут , то відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла момент Μ сили F_τ, яка повертає маятник до положення рівноваги буде дорівнювати

 (19)

де J - момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку О, l - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника,  – сила, яка повертає маятник у попереднє положення, (знак мінус обумовлений тим, що зростання  і швидкості  завжди протилежні; sinαα відповідає малим коливанням маятника, тобто малим відхиленням маятника від положення рівноваги.

Рис. 5

Рівняння (19) можна записати у вигляді

або

Приймаючи, що  одержимо рівняння  ідентичне з (16), розв’язком якого є функція:

 (20)

З виразу (20) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник виконує гармонічні коливання з циклічною частотою  і періодом

 (21)

де  – приведена довжина фізичного маятника.

Точка 0' на продовженні прямої 0С, яка відстоїть від осі підвісу на відстані приведеної довжини L, називається центром коливань фізичного маятника (рис. 5). Застосовуючи теорему Штейнера, можна показати, що 00' завжди більше 0С = l. Точка підвісу 0 і центр коливань 0' мають властивість взаємозамінності, якщо вісь підвісу перенести в центр коливань, то точка 0, в якій розміщувалась раніше вісь підвісу стане новим центром коливань і період коливань фізичного маятника не зміниться.

Математичний маятник. Математичний маятник – ідеалізована система, яка складається з матеріальної точки масою т, підвішеної на нерозтяжній невагомій нитці, і коливається під дією сили тяжіння (рис.6).

Гарним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, підвішений на тонкій довгій нитці. Момент інерції математичного маятника дорівнює

 (22)

де l - довжина маятника.

Рис. 6

Так як математичний маятник можна подати як окремий випадок фізичного маятника, припустивши, що вся маса фізичного маятника зосереджена в одній точці – центрі мас, то, підставивши вираз (22) у формулу (21), одержимо знайомий вираз для малих коливань математичного маятника:

 (23)

Порівнюючи формули (23) і (21), бачимо, що якщо приведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині l математичного маятника, то їх періоди коливань збігаються. Отже, приведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.