Метод хорд

МЕТОД ХОРД

Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

Нехай задано рівняння

,

де  на відрізку  має неперервні похідні першого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і, тобто корінь  рівняння відокремлений на  .

Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої  замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю  є наближеним значенням кореня.

 

а б

 

в г

рис.1

Нехай для визначеності, , ,  (рис. 1, а). Візьмемо за початкове наближення шуканого кореня  значення . Через точки  і  проведемо хорду і за перше наближення кореня  візьмемо абсцису  точки перетину хорди з віссю . Тепер наближене значення  кореня можна уточнити, якщо застосувати метод хорд до відрізка . Абсциса  точки перетину хорди  буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність  наближених значень кореня  даного рівняння.

Для виведення формули методу хорд запишемо рівняння прямої, що проходить через точки  і :

.

Поклавши , знайдемо абсцису точки перетину хорди  з віссю

: .

Значення  можна взяти за наступне наближення, тобто

, тобто = 0,1,2,

У цьому разі і тоді, коли , , ,  (рис. 1, б) кінець  відрізка  є нерухомим.

Якщо , , ,  (рис. 1, в), або , , ,  (рис. 1, г), аналогічно можна записати формулу:

, тобто = 0,1,2,... .

У цьому випадку точка  є нерухомим кінцем відрізка .

У загальному випадку нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня, в якому знак функції  збігається із знаком другої похідної, а за початкове наближення  можна взяти точку відрізка , в якій .

Отже, метод хорд можна записати так:

, тобто = 0,1,2, (1)

де

З формули (1) видно, що метод хорд є методом ітерацій , в якому

(2)

Зауважимо, що рівняння

на відрізку  рівносильне рівнянню .

Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку  функція  неперервна разом із своїми похідними до другого порядку включно, причому , а похідні  і  зберігають сталі знаки на , тоді існує такий окіл кореня  рівняння , що для будь-якого початкового наближення  з цього околу послідовність , обчислена за формулою (1), збігатиметься до кореня .

Доведення. Для доведення теореми досить показати, що в деякому околі  кореня  похідна  функції (2) задовольняє умову  для будь-яких .

Обчислимо

.

Поклавши  і врахувавши, що , маємо

. (3)

Запишемо для  в околі точки  формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа:

,

де  лежить між  і .

Поклавши в ній, дістанемо

, (4)

Із формули (3), враховуючи (4), знаходимо .

Оскільки  і  — неперервні на  , то і  буде неперервною на  функцією, тому .

Звідси і з неперервності  випливає, що на відрізку  існує окіл  точки  такий, що  для будь-якого . Тоді з теореми про достатні умови методу ітерацій (Нехай рівняння  має корінь  і в деякому околі  цього кореня функція  задовольняє умову Ліпшиця , де; тоді для будь-якого  послідовність  ,обчислена за формулою ,  збігається до кореня , причому швидкість збіжності характеризується нерівністю ) випливає, що послідовність {}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня , якщо початкове наближення . Теорему доведено.

Виведемо формулу, яка дає можливість оцінити абсолютну похибку наближення  через два послідовні наближення  і.

Нехай — неперервна і зберігає на  сталий знак, причому

, де , .

З формули

 

дістаємо .

Звідси, враховуючи, що ,

маємо .

Застосувавши теорему Лагранжа, дістанемо

,

де  лежить між точками  і , а  — між  і . Далі запишемо:

 або

Оскільки  зберігає на  сталий знак, то .

Тому (5)

Якщо на відрізку  справедлива нерівність , то із (5) випливає оцінка: .

Отже, корінь  рівняння  буде знайдено методом хорд із наперед заданою точністю , якщо для двох послідовних наближень  і  справджуватиметься нерівність

.

 

Приклад 1. Відокремити корені рівняння  аналітично і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.

Розв’язання. Маємо функцію

 .

Похідна

; .

Складемо таблицю знаків функції :

		-1	0
	-	-	+	+

Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку

Щоб уточнити корінь, знаходимо другу похідну ; на проміжку  виконується нерівність .

Для обчислень використаємо формулу

, де .

Результати обчислень розміщуємо в таблиці.

0 1 2 3 4	0 -0,882 -0,943 -0,946 -0,946	0 -0,6861 -0,8386 -0,8466	0 0,7779 0,8892 0,8949	0 0,1556 0,1778 0,1790	0 -0,441 -0,4715 -0,473	1,5 0,2173 0,0121 0,0014	1,7 0,4173 0,2121 0,2014	1 0,118 0,057 0,054	-0,118 -0,057 -0,054 -0,054
Відповідь. Приклад 2. Відокремити корені рівняння  графічно і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01. Розв’язання. Відокремимо корінь графічно. Побудуємо графіки функції  і  (рис.2), склавши таблицю значень цих функцій: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 0 0,11 0,22 0,33 0,44 0,55 0,1 0,21 0,33 0,46 0,60 0,76 рис.2 Таким чином, додатний корінь рівняння знаходиться на проміжку . Щоб уточнити корінь методом хорд, визначимо знаки функції  на кінцях відрізка  і знак її другої похідної на цьому відрізку: ; , ; , при . Для обчислень застосуємо формулу , де ; . Розрахунки зручно розмістити в таблиці: 0 0,6 0,2 0,43 0,4586 0,36 0,0986 -0,1392 -0,142 1 0,742 0,058 0,5081 0,5570 0,5506 0,0064 -0,0470 -0,008 2 0,750 0,50 0,5125 05627 0,5625 0,0002 -0,0408 -0,0002 3 0,7502 0,0498 0,5126 0,5628 0,5628 0 Відповідь: Задачі для самостійного розв’язування.

1)  ,

;

2)  ,

;

3)  ,

;

4)  ,

;

5)  ,

;

6)  ,

;

7)  ,

;

8)  ,

;

9)  ,

;

10)  ,

;

11)  ,

;

12)  ,

;

13)  ,

;

14)  ,

;

15)  ,

;

16)  ,

;

17)  ,

;

18)  ,

;

19)  ,

;

20)  ,

;

21)  ,

;

22)  ,

;

23)  ,

;

24)  ,

;

25)  ,

;

26)  ,

;

27)  ,

;

28)  ,

;

29)  ,

;

30)  ,

;

31)  ,

;

32)  ,

;

33)  ,

;

34)  ,

;

35)  ,

;

36)  ,

;

37)  ,

;

38)  ,

;

39)  ,

;

40)  ,