Оптимізаційні математичні моделі поводження фірми

2. Оптимізаційні математичні моделі поводження фірми

Математичні моделі поводження фірми будуються на основі таких передумов:

1) виробнича функція відображає чисто технологічні умови виробництва;

2) ніяких зовнішніх обмежень на обсяг виробництва й реалізації продукції не існує, це стосується й затрат, що закупають (факторів виробництва);

3) має місце так звана досконала конкуренція, при якій питома вага тієї або іншої фірми невелика, завдяки чому ця фірма не може впливати ані на рівень цін продукції, що реалізується, ані на рівень цін закуповуваних нею товарів; можливий вільний вихід фірми на ринок і відхід з ринку.

Розглянемо одну з математичних моделей поводження фірми – модель максимізації випуску продукції при заданих витратах.

Нехай задана виробнича функція деякої фірми

Заданий вектор цін на фактори виробництва

 

і величина грошового капіталу на закупівлю факторів виробництва . Потрібно розв’язати таку задачу:

 (3)

Задача (3) – це задача нелінійного програмування щодо відшукання умовного максимуму функції. Для даної задачі формують функцію Лагранжа:

.

Необхідними й достатніми умовами для розв’язання задачі (3) є умови Куна-Таккера, які записують у такий спосіб:

 (4)

На випадок , коли фірма повністю витрачає грошовий капітал  на закупівлю факторів виробництва (тобто , ), умови (4) набувають такого вигляду:

(5)

Ці умови виконуються тільки в точці , де  є оптимальним розв’язком (планом) задачі поведінки фірми.

Геометрично розв’язок знаходиться у точці дотику лінії цін на фактори виробництва й кривої байдужності.

Наведемо основні висновки розв’язання задачі максимізації випуску продукції:

1) в оптимальній точці  виконується , , тобто граничні продуктивності факторів пропорційні їхнім цінам, коефіцієнт пропорційності дорівнює ;

2) відношення граничних продуктивностей факторів дорівнює відношенню їхніх цін

, ;

3) гранична продуктивність факторів, що припадає на грошову одиницю, в оптимальному плані має бути однаковою для всіх факторів виробництва

, .

Дані співвідношення складають основу теорії граничної продуктивності (теорії вартості).

3. Модель рівноваги фірми

Припустимо метою фірми є максимізація прибутку шляхом вибору видів витрат при заданій виробничій функції , заданій ціні випуску продукції  і цінах витрат (оплата факторів виробництва) .

Прибуток  дорівнює річному валовому доходу  за винятком витрат виробництва , тобто . Валовой річний доход обчислюється як річна продукція, помножена на її ціну

.

Витрати виробництва дорівнюють загальним виплатам за всі види витрат

.

Розв’язуючи довгострокову задачу, фірма вільна вибрати будь-який вектор витрат із простору витрат, тому задача формулюється в такий спосіб:

 (6)

за умови .

Задача (6) є задачею математичного програмування, єдиним обмеженням якої є невід’ємність компонентів вектора витрат.

Необхідні умови виражаються системою

, ,(7)

де  – оптимальний план.

З (7) випливає, що , , де  – вартість граничної продуктивності -го фактора, тобто вартість додаткового випуску, визначена як результат додаткових витрат -го виду в точці оптимального вибору цих витрат.

Під час розв’язання короткострокової задачі на фірму накладаються обмеження, наприклад, на вектор витрат, тобто фірма не може закупати деякі фактори виробництва вище певного рівня. Тоді задача (6) матиме такий вигляд:

 (8)

за умови  й , .

Якщо система обмежень в (8) – опукла множина, а  – увігнута функція, то задача (8) є задачею опуклого програмування, що розв’язується методом штрафних функцій або його модифікаціями.