Дана система линейных однородных уравнений

8. Дана система линейных однородных уравнений

2х₁ +3х₂ - х₃ - х₄ + х₅ = 0,

3х₁ - 2х₂ - 3х₃  -3х₅ = 0,

х₁ - 3х₂ + 2х₃ -5х₄ -2х₅ = 0.

Докажите , что система имеет нетривиальное решение . Найдите общее решение системы . Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх , а переменных в системе пять .

Решим систему методом Гаусса .

Запишем матрицу системы :

2 3 -1 -1 1  1 -3 2 -5 -2

А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 5 │*7 →

1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │*(-9)

1 -3 2 -5 -2

→ 0 9 -5 9 5

0 0 -8 -72 8

х₁ -3х₂ + 2х₃ - 5х₄ -2х₅ = 0

9х₂ - 5х₃ + 9х₄ +5х₅ = 0

-8х₃ -72х₄ +8х₅ = 0

1) 8х₃ = -72х₄ + 8х₅

х₃ = - 9х₄ + х₅

2) 9х₂ + 45х₄ - 5х₅ + 9х₄ +5х₅ = 0

9х₂ + 36х₄ = 0

х₂= - 4х₄

3) х₁ +12х₄ - 18х₄ + 2х₅ - 5х₄ -2х₅ = 0

х₁ - 11х₄ = 0

х₁ =11х₄

Общее решение системы :

х₁ =11х₄

х₂= - 4х₄

х₃ = - 9х₄ + х₅

Найдём фундаментальную систему решений , положив х₄ = 1 , х₅ = 0.

х₁ =11*1 = 11,

х₂= - 4*1 = -4,

х₃ = - 9*1 + 0 = -9.

Пусть х₄ = 0, х₅ = 1.

х₁ =11*0 = 0,

х₂= - 4*0 = 0,

х₃ = - 9*0 + 1 = 1.

Ответ : (11;-4;-9;1;0)

(0; 0; 1; 0; 1).

9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма , построенного на векторах а = 2р + 3r, b = p –2r , | p | = √2 , | r | = 3, (p,^r) = 45° .

Решение :

S =| [а , b] | = | [2р + 3r , p –2r] | = | 2[p , p] - 4[p, r ] + 3[r , p] -6[r , r] |

[p , p] = 0 , [r , r] = 0 , [r , p] = - [p, r ] .

S = | 7[r , p] | = 7| r | * | p | * sinφ

S = 7 * 3 * √2 * sin 45° = 21 * √2 * √2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .

10 (78Т). Вычислите Пр_BD[BC ,CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) .

Решение :

Найдём координаты векторов

BD = ( 4 – 6 , 1 – 3 , 4 – 3 ) = ( - 2 ; - 2 ; 1 ),

BC = ( 6 – 6 , 4 – 3 , 2 – 3 ) = ( 0 ; 1 ; - 1 ),

CD = ( 4 – 6 , 1 – 4 , 4 – 2 ) = ( - 2 ; - 3 ; 2 ).

Найдём векторное произведение :

i j k

[BC ,CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .

-2 -3 2

Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )

Пр_BD  а = ( BD , a ) /| BD |

( BD , a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 .

Пр_BDа = 0 .

Ответ : Пр_BDа = 0 .

11. Линейный оператор А действует в R₃ → R₃ по закону Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ , 5х₂ , 3х₁ + 2х₂ + х₃ ), где х( х₁, х₂, х₃ ) – произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число λ₀ ,соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от λ₀ . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку .

Решение :

Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ ; 5х₂ ; 3х₁ + 2х₂ + х₃ )

Найдём матрицу в базисе l₁ , l₂ , l₃

A _l1 = (-1 ; 2 ;1)

A _l2 = (0 ; 5 ; 0)

A _l3 = (3 ; 2 ; 1)

-1 2 1

A = 0 5 0

3 2 1 .

Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.

Имеем

-1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1

Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0

3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .

Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .

Составляем характеристическое уравнение :

-1 – λ 2 1

0 5 – λ 0 = 0

3 2 1 – λ

(5 – λ)*((-1 – λ)*(1 – λ) – 3) = 0

5 – λ = 0  или λ² –1 – 3 = 0

λ² = 4

λ= ±2

 λ₁ = 2 , λ₂ = -2 , λ₃ = 5 .

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу λ = -2.

х₁ + 2х₂ + х₃ = 0 х₂ = 0

7х₂ = 0

3х₁ + 2х₂ + 3х₃  = 0

х₁ + х₃ = 0 х₁ = -х₃

3х₁ + 3х₃  = 0

Пусть х₃ = 1 ,тогда х₁ = -1 , имеем собственный вектор х₁ = (-1 ;0 ;1) .

Проверка :

-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1

A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0

3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1

Следовательно , х₁ = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2.

Найдём собственный вектор для λ = 5

-6х₁ + 2х₂ + х₃ = 0

 3х₁ + 2х₂ - 4х₃  = 0

-9х₁ + 5х₃  = 0

х₁ = 5/9 х₃

-6*(5/9 х₃) + 2х₂ + х₃ = 0

-10/3 х₃ + х₃ + 2х₂ = 0

2х₂ = 7/3 х₃

х₂ = 7/6 х_{3 .}

Пусть х₃ = 18 , тогда х₁ = 10 , х₂ = 21 .

Вектор х₂ = (10 ;21 ;18) собственный вектор .

Проверка

-1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10

A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21

3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18 .

Следовательно , х₂ = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

Ответ : матрица в каноническом базисе : -1 , 2 , 1 : 0 , 5 , 0 : 3 , 2 , 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 , х₁ = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2 , х₂ = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой , проходящей через точку М(1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0.

Решение :

Найдём угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0.

3y = -2x –5

y = -2/3 x – 5/3

κ = -2/3

Так как исходная прямая параллельна данной , то её угловой коэффициент равен κ = -2/3 .

Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент κ и проходящей через точку М(х₀,y₀) записывается в виде

y – y₀ = κ(x – x₀).

Имеем

y – 4 = -2/3 (x – 1)

3y – 12 = -2x + 2

2х + 3y - 14 = 0.

Ответ : 2х + 3y - 14 = 0 – уравнение искомой прямой .

13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0.

Решение :

Пусть N – проекция точки М на данную прямую .

Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой х + 2y – 10 = 0 равен κ₁ = -1/2 , тогда угловой коэффициент прямой MN равен κ₂ = 2 .

Тогда уравнение MN имеет вид y – y₀ = 2(x – x₀) .

Для определения координат точки N решим систему уравнений

х + 2y – 10 = 0

y – y₀ = 2(x – x₀) , x₀ = 3 , y₀ = 6 .

х + 2y – 10 = 0 2х + 4y – 20 = 0

y – 6= 2(x – 3) -2х + y = 0

4y = 20

y = 4

2х = y

х = ½ y

х = ½ * 4 = 2

х = 2 .

Ответ : координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0 N(2,4).

14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости , походящей через три заданные точки M₁(-6,1,-5) , M₂(7,-2,-1) , M₃(10,-7,1) .

Решение :

Уравнение плоскости , проходящей через 3 точки имеет вид

x-x1 y-y1 z-z1

x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0

x3-x1 y3-y1 z3-z1

x-6 y-1 z+5

7+6 -2-1 -1+5 = 0

10+6 -7-1 1-5

x-6 y-1 z+5

13 -3 4 = 0

16 -8 -4

(x –6)* -3 4 - (y – 1)* 13 4 + (z + 5)* 13 -3 = (x –6)*(12+32) – (y – 1)*(-52-64)+

-8 -4 16 -4 16 -8

+ (z + 5)*(-104+48) = 0

(x –6)*44 - (y – 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0

11*(x –6) + 29*(y – 1) – 14*(z + 5) = 0

11x – 66 + 29y – 29 – 14z – 70 = 0

11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

Ответ : общее уравнение плоскости 11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

15.Дана кривая 4x2 – y2 – 24x + 4y + 28 = 0 .

8.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .

8.2 (325.Б7).Найдите координаты её центра симметрии .

8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси .

8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси .

8.5. Постройте данную гиперболу .

Решение :

Выделим полные квадраты

4(x2 – 6x + 9) – 36 – (y2 – 4y + 4) + 4 + 28 = 0

4(x – 3)2 – (y – 2)2 – 4 = 0

4(x – 3)2 – (y – 2)2 = 4

((x – 3)2/1) – ((y – 2)2/4) = 1

Положим x₁ = x – 3 , y₁ = y – 2 , тогда x₁2/1 – y₁2/4 =1 .

Данная кривая является гиперболой .

Определим её центр

x₁ = x – 3 = 0 , x = 3

y₁ = y – 2 = 0 , y = 2

(3 ; 2) - центр .

Действительная полуось a =1 .

Мнимая полуось b =2 .

Уравнение асимптот гиперболы

y₁ = ± b/a x₁

(y – 2) = (± 2/1)*(x – 3)

y –2 = 2x – 6 и y – 2 = -2(x – 8)

2x – y – 4 = 0 2x + 2y – 8 = 0

x + y – 4 = 0 .

Определим фокусы гиперболы

F₁(-c ; 0) , F₂(c ; 0)

c2 = a2 + b2 ; c2 = 1 + 4 = 5

c = ±√5

F₁(-√5; 0) , F₂(√5 ; 0).

F₁′(3 - √5; 2) , F₂′ (3 + √5; 2).

Уравнение F₁′ F₂′ (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2

Ответ: (3 ; 2) , действительная полуось a =1 , мнимая полуось b =2, (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2 .

16.Дана кривая y2 + 6x + 6y + 15 = 0.

16.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .

16.2(058.РП). Найдите координаты её вершины .

16.3(2П9). Найдите значения её параметра p .

16.4(289.РП). Запишите уравнение её оси симметрии .

16.5.Постройте данную параболу .

Решение :

Выделим полный квадрат при переменной y

(y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0

(y + 3)2 = - 6(x + 1) .

Положим y₁ = y + 3 , x₁ = x + 1 .

Получим

y₁2 = ±6x₁ .

Это уравнение параболы вида y2 = 2px , где p = -3 .

Данная кривая является гиперболой .

Так как p<0 , то ветви параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0 x + 1 = 0

y = -3 x = -1

(-1 ; -3) – вершина параболы .

Уравнение оси симметрии y = -3.

Ответ : (-1 ; -3) – вершина параболы , p = -3 , уравнение оси симметрии y = -3 .