Вычисление пределов

Санкт-Петербургское государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Согласовано:

Предметной (цикловой) комиссией Председатель

____________/_____________

(Подпись) (ФИО)

«_____» __________200__г.

Утверждено: Заместителем директора по УР

__________/______________/

(Подпись) (ФИО)

 «____»________200___г.

Указания по проведению

практической работы № ___1____

Задачи на вычисление пределов

_{(Название работы)}

По дисциплине «Математика»

Специальность __080110, 080112, 080501__

Разработал преподаватель

_____________(___................. __)

(Подпись) (ФИО)

«_______» _________________200___г.

Цель работы:

1. Формировать умения и навыки вычисления пределов

2.  Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда

3.  Прививать умения и навыки работы со справочным материалом

4. Определить уровень остаточных знаний студентов по данной теме

Перечень справочной литературы :

 

1.  Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004

2.  Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004

3.  Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003

4.  Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001

Краткие теоретические сведения:

 

Предел последовательности

 

Определение. Число  называется пределом последовательности , если для любого положительно  го числа найдется такое натуральное число , что при всех > выполняется неравенство

Пишут:

Графически это выглядит так:

_n- 

Т.е. элемент  находится в - окрестности точки а. При этом последовательности  называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

 

Основные свойства сходящихся последовательностей

1)Сходящаяся последовательность ограничена.

2)Пусть , , тогда а)  б)  в)

3)Если  и для всех  выполняется неравенства , то .

4) Если  и последовательность {у_n} - ограниченная, то  

№1. Найти пределы:

Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Определение. Функция  называется бесконечно малой при , если

Например: 1)  при  б. м. ф. т.к.  2)  при  б. м. ф. т. к

Определение. Функция  называется бесконечно большой при , если ,  или

Например,  есть б. б. Ф при ;  если б. б. ф. при  действительно  и

Теорема (о связи между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией). Если функция  имеет придел, равный , то ее можно представить как сумму числа  и бесконечно малой функции , т.е. если

Теорема (обратная). Если функцию  можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. (x), то число А является пределом функции, т.е если , то

Например, требуется вычислить . Представим числитель и знаменатель в виде суммы числа и б.м.ф.

Функции  при  есть б.м.ф. таким образом

Основные теоремы о пределах

 

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Теорема 2. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: .

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.

Примеры:

1)== ==

===

2) =

=

3)

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

 или

Примеры:

Вычислить:

1) .

2) .

3)

4) ===

№2. Найти пределы:

 

 

№3. Найти пределы:

 

Порядок проведения работы:

1.  Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание

2.  Соответствующим образом оформить работу

 

Лист 1. Практическая работа по теме «Вычисление пределов» Выполнил:__________ (ФИО) группа:_____________ Проверил:__________ Оценка:____________

Лист 2. № примера Решение: Ответ:

Оформление работы: