Навигация
Конечные разности. Погрешности
10891
знак
0
таблиц
2
изображения
Реферат
«Конечные разности. Погрешности»
1. Погрешности
1.1 Действительные и конечно-разрядные числа
Представление действительных чисел в вычислительных машинах с фиксированной разрядной сеткой влечет появление инструментальной погрешности в обрабатываемых числах и результатах арифметических действий.
Принятое при вводе преобразование исходных действительных чисел в нормализованную экспоненциальную форму и размещение их в ограниченной разрядной сетке ЭВМ с порядком и дробной частью (мантиссой) в общем случае вносит в этот операнд относительную инструментальную погрешность, величина которой не превышает
где n – число значащих дробных двоичных разрядов, отведенных для хранения мантиссы.
Приближенное конечно-разрядное число a – это действительное число, занимающее заданное количество разрядов и округленное до числа с ближайшим значением достоверного младшего разряда. Приближенные действительные числа имеют абсолютную 
и относительную 
погрешности. Эти погрешности при анализе распространения ошибки при вычислениях приписываются к приближенному числу результата и связываются между собой следующим образом:
Если число a = 5,3812 имеет все разряды достоверные, то его абсолютная погрешность принимается равной половине единицы младшего разряда, т.е. =0.00005, а относительная погрешность, округляемая обычно до одного-двух значащих достоверных разрядов, будет 
Всякие арифметические операции с операндами, представленными в системе с плавающей точкой, в общем случае вносят в результат аналогичную относительную инструментальную погрешность:
где fl(•) – указание на арифметику с плавающей точкой,
– арифметическая операция из множества 
.
Значение результата, равное нулю принудительно устанавливается в машинах при операциях умножения с двумя операндами, приводящее к исчезновению порядка (отрицательный порядок по модулю не умещается на отведенном для него количестве разрядов).
Несколько иначе обстоит дело при вычитании чисел с плавающей точкой и одинаковым порядком:
,
.
Из последнего можно заключить, что для операции вычитания относительная погрешность численно определяется количеством значащих разрядов в результате, которое из-за выполнения нормализации не может быть меньше 
. Т.е. погрешность приближается к 100% последовательно. Это предупреждение адресуется составителям вычислительных алгоритмов, которым необходимо выискивать эквивалентные формулы с контролем величины операндов, в определенных ситуациях можно использовать программный переход к вычислениям с удвоенной точностью.
При выполнении аддитивных операций с приближенными операндами погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей всех чисел, участвовавших в операции. Выполнение мультипликативных операций вносит в результат относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей каждого из операндов.
1.2 Погрешность алгоритмов
Инструментальные погрешности арифметических машинных команд из-за различия и непредсказуемости величины ошибки результата нарушают дистрибутивный, ассоциативный и коммутативный законы арифметики. Каждый же программист, составляя программу, уже на уровне интуиции пользуется ими, как незыблемыми. Отсюда различие в точности тех или иных вычислительных алгоритмов и трудно уловимые ошибки.
Проследить накопление вычислительной погрешности алгоритма для операндов, которые имеют производные, удобно, если результат r каждой двуместной арифметической операции умножать на множитель 
с последующим разложением результирующей функции алгоритма по степеням этого множителя или этих множителей, если 
в группах операторов отличаются по величине. Например, для алгоритма вычисления значения полинома 
третьей степени по схеме Горнера с псевдокодом:
P:=0; j:=3;
repeat
S:=a[j]*x+a [j-1];
P:=P+S*x;
j:=j-1;
until j=1;
функция алгоритма будет:
Учитывая, что 
, последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную:
Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида: 
.
Похожие работы
... - - - 0 - - - 1 - - - В таблице жирным шрифтом выделены конечные разности от нулевого порядка и выше, которые входят в интерполяционную формулу Ньютона. 4.2 Рекуррентные формулы Адамса Пусть теперь требуется найти решение уравнения . для которого уже каким-либо способом найдены k+1 значений решения , что, естественно, определяет и ...
... неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной. Преобразуем уравнения (2.28): . (2.30) Введя обозначения получим , (i=0, 1,..., n-2). (2.31) Краевые условия по-прежнему запишем в виде . (2.32) Метод прогонки состоит в следующем. Разрешим уравнение (2.31) относительно : . (2.33) Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член ...
... с помощью рекурентных соотношений? 104) Приведите конечно-разностные выражения для первой производной. 105) Подынтегральная функция y = f(x) задана таблицейВзяв h = 0,3, вычислить интеграл на отрезке [0,3; 0,9] методом Симпсона. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Билет № 22 106) Как ...
... калькуляции представлены в табл.4.2. Ленточный график работ 5. Безопасность жизнедеятельности и охрана труда Дипломная работа посвящена анализу погрешностей волоконно-оптического гироскопа. В ходе ее выполнения были проведены необходимые расчеты и сделаны выводы, которые могут послужить материалом для ...
0 комментариев