Математические модели задач и их решение на ЭВМ

ЗАДАНИЕ № 1

Из пункта А в пункт Б ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Наличный парк вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные поезда, и количество пассажиров вмещающихся в каждом вагоне приведены в таблице.

Пропускная способность дороги не позволяет пройти в день более чем 10 поездам.

Определить оптимальное число скорых и пассажирских поездов, при которых будет перевозиться максимальное число пассажиров.

В данном случае неизвестными являются число скорых и пассажирских поездов Х1 и Х2

Составим математическую модель этой задачи.

Максимальное число пассажиров перевозимых данными поездами обозначим L. Тогда целевая функция будет иметь вид:

L= 0*(1*х1+1*х2)+58*(5*х1+8*х2)+40*(6*х1+4*х2)+32*(3*х1+1*х2) – max

Ограничение на искомое решение следующее:

1*х1+1*х2

5*х1+8*х2

6*х1+5*х2

3*х1+1*х2

Х1+х2<=10

ЗАДАНИЕ №2.

1. решить задачу геометрическим методом.

2. составить двойственную задачу для исходной.

2х₁+5х₂≥10

5х₁+2х₂≥10

3х₁+4х₂≤24

4х₁+3х₂≤24

Х₁-2х₂ ≤4

Z=3х₁+х₂→мах

Х₁≥0;Х₂≥ 0.

Х1+5x2>5

5x1+x2>5

X1+X2<7

3x1-4x2<12

-4x1+3x2<12

Z=4x1-3x2 – max

X1>0 X2>0

РЕШЕНИЕ

1. Поскольку рассматривается задача на максимум, то все ограничения следует привести к виду «≤». Для этого обе части первого и второго неравенств следует умножить на «-1». Получим: - -2х₁-5х₂≤-10

-5х₁-2х₂≤-10

3х₁+4х₂≤24

4х₁+3х₂≤24

Х₁≥0;Х₂≥ 0.

2. Составим расширенную матрицу системы.

 -2 -5 -10

 -5 -2 -10

А₁₌ 3 4 24

 4 3 24

 3 1 Z

3. Найти матрицу А_1т, транспонированную кА_1.

 

 -2 -5 3 4 3

А_1т = -5 -2 4 3 1

 -10 -10 24 24 Z

4. Сформулируем двойственную задачу:

Z= -10у₁ -10у₂ +24у₃ +24у₄ → min.

-2 у₁ - 5 у₂ + 3 у₃ + 4 у₄≥3

-5у₁ - 2у₂ + 4у₃ + 3у₄≥1

у₁ ≥0;у₂≥0;у₃≥0;у₄ ≥0.

ЗАДАНИЕ №3

Составить математическую модель задачи и решить ее на ЭВМ.

Найти оптимальный план перевозки, при котором транспортные расходы будут минимальны

Данные для каждого варианта приведены

1.тарифы перевозок единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю

2.запасы груза каждого поставщика

3.потребности в грузе каждого потребителя.

РЕШЕНИЕ

А₁ + А ₂ + А ₃ + А ₄ + А ₅ = 30+20+10+27+30=117

В₁ + В₂ + В ₃ + В ₄ =30+40+50+10=130

Спрос превышает предложение и поэтому добавляем пятого фиктивного постивщика.130-117=13 Отсюда:

Х11+Х12+Х13+Х14+Х15 = 30

Х21+Х22+Х23+Х24+Х25 = 20

Х31+Х32+Х33+Х34+Х35 = 10

Х41+Х42+Х43+Х44+Х45 = 27

Х51+Х52+Х53+Х54+Х55 = 30

Х61+Х62+Х63+Х64+Х65=13

F = 7Х11+8Х12+5Х13+5Х14+5Х15+9Х16+1Х21+

+4Х22+2Х23+5Х24+9Х25+ 3Х31+5Х32+3Х33+8Х34+7Х35

+9Х36+2Х41+8Х42+7Х43+4Х44+5Х45+9Х46min.

ЗАДАНИЕ №4

Представители одной фирмы могут принять по три стратегии. Матрица эффективности стратегий фирм представлена в таблице.