1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C — постоянная функция.

3. Если существует и C — постоянная функция, то

.

4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать êB –f(x) ê < e.

Согласно приведенному определению .

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать êC – f(x)ê < e.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

 ().

Функция  непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

½f(x) – A½ < e.

Пусть теперь функция f(x) определена на полу бесконечном промежутке
(–¥; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

½f(x) – A½ < e.

Два, так называемых, "замечательных предела".

1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая  является касательной к графику функции  в точке .

2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Вопросы для самопроверки.

1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.

2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.

3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?

4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?

5.Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости.

6.Чему равен предел суммы четырех функций?

7.В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?

8.При каких условиях непрерывна сложная функция?


ТЕМА7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Понятие производной. Геометрический смысл. Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных. Производные высших порядков. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Инвариантность дифференциала. Формула Тейлора и остаточный член. Формула Тейлора для элементарных функций. применение для приближенного вычисления функций и пределов. содержащих неопределенность. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. выпуклость, вогнутость, точки перегиба. асимптоты. Построение графиков.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Dx  приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение функции Df.

Отношение Df /Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Отношение Dy / Dx или, что то же самое (f(x + Dx)  f(x)) / Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx = 0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x + Dx) – f(x)) / Dx в точке Dx = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y¢ или f¢(x):

.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная  это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.

Таблица производных элементарных функций.

f(x)

f(x)

f(x)

C 0

cosx -sinx
x 1 lnx 1/x tgx

1/cos2x

xn

nxn-1

ax

axlna

arcsina

1/(2)

arccosa

-

1/x

-1 / x2

sinx cosx arctgx

1/(1+x2)

Основные свойства производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f¢ (x) , и С ‑ произвольное число, то функция  имеет производную: (Cf(x))¢ = Cf¢ (x).


Информация о работе «Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 59972
Количество таблиц: 3
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
8961
0
3

... , заданного матрицей P= в пространстве R2. Решение. Составим характеристическое уравнение: |P – λ·E|== λ2-5 λ+4=0 Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения: (P – λ1 E) X=0 и (P – λ2 E) X=0 В развернутом виде  и Соответствующие однородные системы ...

Скачать
42089
3
0

... 361. -370. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной заданными поверхностями.     371. -380. Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль заданной линии (для незамкнутых кривых направление обхода соответствует возрастанию параметра t или переменной x; для замкнутых кривых направление предполагается положительным).  L– отрезок прямой, ...

Скачать
75735
2
0

... климатическом кадастре. 4. Виды наказаний за экологические преступления Эколого-правовая ответственность выступает важным звеном правового обеспечения рационального природопользования и охраны окружающей среды. В юридической литературе признано, что ответственность проявляется как "обязанность выполнять соответствующие нормы поведения и обязанность нести неблагоприятные последствия за их ...

Скачать
45245
24
1

... быть пассажирские пути и платформы, пассажирское здание и переходы, пути отстоя оборачивающихся пригородных и дальних конечных поездов, багажные и почтовые устройства. В данном курсовом проекте рассматривают вопросы организации работы участковой станции «Н». Содержание   Введение 1 Общие вопросы работы станции 2 Оперативное руководство и планирование работы станции 3 Технология обработки ...

0 комментариев


Наверх