Метод коллокаций

7004

знака

таблицы

изображения

Методы коллокаций и Галеркина

1. Метод коллокаций.

В качестве базисных функций выберем полиномы

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем функцию

(2.59)

В точках коллокации получим

Подставляя сюда (2.59), найдем

(2.60)

Решив эту систему, определим коэффициенты :

=0.957, =− 0.022.

Следовательно, приближенное решение будет иметь вид

Например, при x=0 получим y(0)=0.957.

2. Метод сеток.

Для грубого решения выбираем шаг h=1/2 (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток

Полагая , ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:

(2.61)

Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y₀ и . Полагая x=0 и пользуясь симметричными формулами для производных

получим:

Аналогично, при x=1/2, то есть при i=1, получаем

Учитывая теперь (2.61), найдем систему

Решая эту систему, отыщем y₀=0.967, y₁=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y₀=0.957, а метод сеток y₀=0.967.

Метод Галеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

, (2.62)

(2.63)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

(2.64)

где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям

(2.65)

и, кроме того функции при образуют в классе функций c₂[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c₂[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций полна в классе G, если для любого и любой функции можно указать такое n и такие параметры , что имеет место неравенство

где

Это означает, что для любой допустимой функции найдется такая функция , которая на [a, b] будет сколь угодно точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными и .

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций выполняется соотношение ортогональности

(2.66)

то функция . Для этого из полной системы последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему

причем иначе были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству

(2.67)

Вычислим последний интеграл:

так как

Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид

Полагая здесь k=1, получим , и так как , то . Полагая k=2, получим , и так далее. Следовательно, все коэффициенты в разложении функции F(x) равны нулю и поэтому F(x) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы было ортогонально при любых , то это означало бы, что , и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при , то в разложении по системе входят и более старшие коэффициенты, то есть

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности к функциям полной системы для , то есть

(2.68) где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a_k. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому можно выбрать в виде

и коэффициенты найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции . Выберем, например, полную систему в виде многочленов последовательных степеней:

Коэффициенты найдем из однородных краевых условий (2.65)

(2.65^а)

при всех .

Так, для и условия (2.65^а) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных: и . Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, . Аналогично отыскивают коэффициенты для .

Для простых условий вида то есть функции можно вычислять по правилу

или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами a_k уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.