Методы оптимизации при решении уравнений

Контрольная работа

«Методы оптимизации при решении уравнений»

Задание №1

Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

 

Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:

Используем краевые условия:

Решаем систему уравнений и получаем:

Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как

то функционал на прямой  достигает минимума.

 

Задание №2

Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал  для системы, описываемой уравнениями

,

при начальных и конечных условиях соответственно:

A	B	t0	tf	x0	xf	a	b
0 1 0 0	0 1	0	1	1 0	0 0	0	1

 

Решение

Формируем задачу по исходным данным:

(1)

(2)

Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:

и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):

(3)

(4)

Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):

и находим общее решение

(5)

Подставим его в первое уравнение (1):

и находим общее решение:

(6)

Для  из (6) и  из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С₁, С₂, С₃, С₄,:

Таким образом, решение имеет вид:

которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.

 

Задание №3

Для системы, описываемой уравнениями

 

с заданными условиями на начальное  и конечное  значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

A	B	t0	tf	x0	xf	g0	a	b
0 1 0 0	0 1	0	t	1 0	x1(tf) = -tf2	0	0	1

Решение. Формулируем задачу по исходным данным

(1)

(2)

т.е. ,подвижна на правом конце, координата  - свободна на правом конце,

Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)

(3)

и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

(4)

(5)

(6)

Составим вспомогательную функцию

,

где .Таким образом:

. (7)

Поскольку  и  подвижны, то используем условия трансверсальности:

(8)

(9)

Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности

Найдем значение  при  из (3), но учтем, что , а  из (9). Тогда, учитывая (4):

и используя (10) получим:

(11)

Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:

(12),

(13)

Используя начальные условия, можем записать:

Запишем условие  с учетом (13). Тогда:

(14)

Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С₁, С₂ и :

Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:

,

а подставляя 1-е в третье, получим:

Таким образом, решение имеет вид:

Задание №4

Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы

A	B	t0	tf	F	a	b
0 1 0 0	0 1	0	∞	0	1 0 0 2	1

 

Решение:

Формируем задачу по исходным данным.

(1)

 – не ограничено, то есть .

Составим уравнение Беллмана с учетом того, что  (S-функция Беллмана)

(2)

(3)

(4)

Из (3) находим:

(5)

Подставим (5) в (4)

(6)

Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы

(7)

причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит

(8)

т.е. матрица должна быть положительно определённой.

Вычисляя выражения:

(9)

подставим их в (6) и обратим коэффициенты при ,  и  в ноль, т.к. справа у нас ноль:

Отсюда:

(10)

(11)

(12)

Если , то  Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда:

 

а следовательно а₁₂ и а₂₂ должны быть одного знака, так как а₁₁ > 0.

Тогда а₁₂ = 1/2, а₂₂ = 1, а₁₁ = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

 

Задача 5

 

Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы

в задаче:

А	В	t0	tf	х0	xf	|u|
0 1 0 0 0 1 0 0 0	0 0 1	0	1	0 0 0	x1®max 0 0	£1

Решение:

Формируем задачу по исходным данным:

  

(4)

Составим функцию Гамильтона

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:

(5)

(6)

(7)

Поскольку  – подвижна, то используем условие трансверсальности:

 

Но из (5) видно, что y₁ = С₁Þ С₁ = 1. Тогда из (7) видно, что y₃ = t²/2-C₂t+C₃, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y₃ = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует:

,

а следовательно:

Тогда, поскольку y₃ меняет знак дважды, (пусть в моменты t₁ и t₂) можем записать

(8)

Подставим  в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

(9)

Используя начальные и конечные условия для х₃ и условия непрерывности  в t₁ и t₂ получим:

(10)

Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:

  (11)

Используя начальные и конечные условия для х₂ и условия непрерывности в t₁ и t₂, получим:

Используем непрерывность  при  и :

Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:

(12-14)

Подставив (12) в (13), получим уравнение

.

Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

Тогда t₁ из (12) равно

и, наконец,

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):

  (15)

Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:

Таким образом: моменты переключения: t₁=1/4, t₂=3/4, а  заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

Задание №6

Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:

где

.

 

Решение:

Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);

Y = (B, AB, A²B):

Таким образом

 

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что

.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

H=(C^T, A^TC^T, (A^T)² C^T);

.

Таким образом

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание №7

Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

A	B	Q	R
0 1 1 0	1 0	1 0 0 0	1

 

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

где

,

причем матрица l>0 (положительно определена).

Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:

Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим: