Применение математического моделирования в экономике

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

Контрольная работа №1

Дисциплина Экономико-математические методы

Применение математического моделирования в экономике

Студент

Качан Татьяна Юрьевна

2010 г.

Содержание

1.  Задание 1

2.  Задание 2

3.  Задание 3

4.  Задание 4

5.  Задание 5

6.  Задание 6

7.  Задание 7

8.  Задание 8

Список используемой литературы

Задание 1 Производственные функции

1.  Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Производственной функцией называется зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов. Производственная функция характеризует чисто техническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции в единицу времени. Производственная функция описывает множество технически эффективных способов производства заданного объема продукции. Изокванта (в теории производственных функций) - это геометрическое место точек в пространстве ресурсов, в которых различные сочетания производственных ресурсов дают одно и то же количество выпускаемой продукции. Взаимозаменяемость ресурсов - это возможность использования разных видов ресурсов для достижения народно-хозяйственного оптимума. Различают взаимозаменяемость ресурсов техническую и экономическую. Разработаны экономико-математические модели расчетов эффективности взаимной замены ресурсов.

2.  Производственная функция для райпо имеет вид f(x1,x2)=10√x1*√x2, где f – товарооборот, млн.руб.; x1 – производственная площадь, тыс.кв. м; x2 – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня y0 =√100+β и найдите на ней точку С1 с координатами x1, x2, где x1=(β-100)/100, и точку С2 с координатами x1, x2, где х2=(β-300)/100. Сделайте вывод о возможности замены ресурсов (x1, x2) и (x1, x2). Полученные результаты изобразите графически.

Решение: число β=523, тогда уравнение изокванты 10√x *√x=√523, ( 100+523= 623).

Возводя обе части в квадрат и деля их на 100, получим: х1*х2=6,23.

Найдем координаты точки С1. Так как х1=(523-100)/100=4,23, то из уравнения изокванты находим х2=6,23/4,23=1,47. Аналогично находим координаты точки С2. Так как х2=(523-300)/100=2,23, то х1=6,23/2,23=2,79.

Итак, 147 работников райпо, используя 4,23 тыс.кв.метров производственной площади, обеспечат товарооборот √623≈25,0 (млн.руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 223 работника райпо, используя площадь 2,79 тыс.кв. метров (рис.1).

Задание 2. Классификация товаров

 

1. Дайте понятие малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми?

Если ценовая эластичность больше единицы, то такой товар принято называть высокоэластичным; если меньше единицы — низкоэластичным; если равен единице — товар с единичной эластичностью.

Если небольшие изменения в цене на товар приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции, то такой спрос называют относительно высокоэластичным. Если существенное изменение в цене ведет к небольшому изменению в количестве покупок, то такой спрос - малоэластичный. Когда процентное изменение цены и последующее изменение количества спрашиваемой продукции равны по величине, то такой случай называют среднеэластичностью.

Взаимозаменяемые товары — по определению Закона РФ "О конкуренции и ограничении монополистической деятельности на товарных рынках" от 22 марта 1991 г. "группа товаров, которые могут быть сравнимы по их функциональному назначению, применению, качественным и техническим характеристикам, цене и другим параметрам таким образом, что покупатель действительно заменяет или готов заменить их друг другом в процессе потребления (в том числе производственного)".

При повышении цены на один из таких товаров растет спрос на другой, заменяющий его товар.

2. Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

Товар	Первый	Второй	Третий
Первый	β-610/100	550,5-β/100	570,5-β/100
Второй	550,5-β/120	β-640/100	520-β/100
Третий	570,5-β/120	520-β/90	680-β/100

Пусть β=523. Тогда таблица эластичностей принимает вид:

Товар	Первый	Второй	Третий
Первый	-0,87	0,28	0,48
Второй	0,23	-1,17	-0,03
Третий	0,40	-0,03	-1,57

Так как |Е11| =0,87 ‹ 1, то первый товар малоэластичный;

так как |Е22¦ = 1,17 › 1, то второй товар высокоэластичный;

так как |Е33| =1,57 › 1, то третий товар высокоэластичный.

Поскольку Е12 =0,028 › 0 и Е21=0,23 › 0, то первый и второй товары взаимозаменяемые.

Поскольку Е13 =0,48 › 0 и Е31=0,40 › 0, то первый и третий товары взаимозаменяемые.

Поскольку Е23 =-0,03 ‹ 0 и Е32=-0,03 ‹ 0, то второй и третий товары взаимодополняемые.

 

Задание 3. Межотраслевой баланс

1.  Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?

aij = xij / Xj,

где aij — коэффициент прямых затрат продукта i на производство единицы продукта j, xij — общий объём затрат продукта i на производство продукта j, Xj — весь объём производства продукта j. К. п. з. изменяются под влиянием технического прогресса, улучшения организации производства и т. п. и тем самым отражают рост эффективности общественного производства.

Коэффициенты прямых затрат aij - это отношение объема продукта i-ой отрасли, используемого за отчетный период j-ой отраслью, к валовому выпуску продукции j-ой отрасли.

Коэффициенты прямых затрат могут использоваться для определения планового производства валовой продукции отраслей.

2.  За отчетный период имел место следующий баланс продукции:

x1= x11+ x12+у1

x2= x21+ x22+у2

x11= 800- β;

x12= 700- β

x21= 750- β;

x22= 850- β

у1 =300;

у2 =220

а) Вычислите коэффициенты прямых затрат.

б) Вычислите плановый объем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции y1= 350; y2=250 при условии неизменности технологии производства.

x11=800-523=277

x12=700-523=177

x21=750-523=227

x22=850-523=327

x1=277+177+300=754

x2=227+327+220=774

а) Вычислим коэффициенты прямых затрат:

а11=х11/х1=277/754=0,367

а12=х12/х2=177/774=0,229

а21=х21/х1=227/754=0,301

а22=х22/х2=327/774=0,422

б) Вычислим плановый объем валовой продукции отраслей:

(1-0,367)х1-0,229х2=350 0,633х1-0,229х2=350

-301х1+(1-0,422)х2=250 -0,301х1+0,578х2=250

Выразим из первого уравнения x1:

0,633х1=350+0,229х2

х1=350/0,633+0,229/0,633х2

х1=552,923+0,362х2 –и поставим во второе уравнение

-0,301(552,923+0,362х2)+0,578х2=250

-166,43-0,109х2+0,578х2=250

0,578х2-0,109х2=250+166,43

0,469х2=416,43

х2=416,43/0,469=887,91

х1=552,923+0,362*887,91=552,923+321,423=874,346.

Таким образом, х1=874,346 – плановый объем валовой продукции первой отрасли;

х2=887,91 – плановый объем валовой продукции второй отрасли.

Задание 4. Использование метода теории игр в торговле

1. Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма. Рассмотрим проблему уценки неходового товара с целью получения возможно большей выручки от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости от цены неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены. Иными словами, нужно принять решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А1, А2, …, Аm – стратегии снижения цены на товар на α1%, α2%,…, αm% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε1, ε2 ,…, εn. Если выбрать определенную стратегию Аi и знать эластичность товара εj, то, используя еще некоторые, обычно известные величины, можно подсчитать выручку от реализации товара аij. Проделав это для всех Аi и для всех εj, получим платежную таблицу. В таблице представлен подробный перечень различных ситуаций. Для принятия решения можно использовать следующие способы.

Подход с позиции крайнего пессимизма

Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии А_i эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α_i будет минимально возможной, т.е.

α_i = min (α_i1, α_i2,…,α_im).

Вычислив все величины α_i (α₁, α₂,…,α_m), нужно взять наибольшую из них α: α = max (α_i).

Та стратегия, которая соответствует числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая стратегия есть наилучший выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

Подход с позиции крайнего оптимизма

Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии А_i эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β_i наибольшая, т.е.

β_i= max (α_i1, α_i2,…,α_im).

Вычислив все β_i, нужно взять наибольшую из них: β = max (β_i).

Та стратегия, которая соответствует величине β, и есть искомая.

Подход с позиции пессимизма-оптимизма

Рассмотрим величину H = max [(1-)+ ], где

λ – числовой параметр, 01

Предлагается выбирать стратегию, соответствующую величине H.

При λ = 0 Н = max α_i= α, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max β_i=β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще, величина Н при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

,

 а затем выберем наибольшее из них

Стратегию, на которой достигается величина γ, будем называть соответствующей подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

2. Выберите стратегии с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма для следующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.

А Е	Е1	Е2	Е3
А1	β -490	β -480	620- β
А2	610- β	620- β	630- β
А3	Ι550-βΙ +10	Ι560- βΙ+10	640- β

Для числа β=523 таблица приобретает вид:

А Е	Е1	Е2	Е3
А1	33	43	97
А2	87	97	107
А3	37	47	117

Выберем по каждой строке таблицы минимальное из чисел αi, максимальное βi ,а затем вычислим их полусумму γi.

А Е	Е1	Е2	Е3	αi	βi	γi
А1	33	43	97	33	97	65
А2	87	97	107	87	107	97
А3	37	47	117	37	117	77

Получим:

α= max (α 1, α 2, α 3,)=(33,87,37)=87;

β= max (β1, β2, β3)=max (97;107;117)=117;

γ= max (γ1, γ2, γ3)=max (65,97,77)=97.

Так как α =87 и это число находится в строке, соответствующей А2, то А2 – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 87 единицам. Так как β =117 и это число находится в строке, соответствующей А3, то А3 стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 117 единицам. Так как γ =97 и это число находится в строке, соответствующей А2, то А2 стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 97 единицам.

Задание 5. Системы массового обслуживания

1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.

Экономические показатели, характеризующие работу СМО:

Pk - доля времени работы k каналов, k=0,1,+,n;

L - средняя длина очереди

P0 - вероятность того, что система свободна

П - вероятность образования очереди

Pотк - вероятность отказа в обслуживании

g - относительная пропускная способность

А - абсолютная пропускная способность

nзан - среднее количество занятых каналов

tож - среднее время нахождения в очереди

2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью µ=(β+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(β+400)/100 (треб./мин.). Рассчитай те долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ =(700- β)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Пусть β =523. Тогда µ=8,23 (треб./мин.), а первоначальное значение λ равно 9,23 (треб./мин.)

α = 9,23/8,23=1,122

р0= (2-1,122)/(2+1,122) = 0,878/3,122 = 0,281 (р0 = 28,1%)

L1 = (1,122) /4- (1,122) = 1,412/2,741 = 0,515 (треб.)

Если интенсивность λ станет равной (700-523)/10 = 17,7 (треб./мин.), то в силу неравенства 17,7 › 2·8,23 условие стационарности СМО не будет выполнено.

Задание 6 Оптимальное управление запасами