Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Математическое моделирование в экономике

16669
знаков
0
таблиц
6
изображений

Важнейшим видом формализованного знакового моделирования является математического моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики. Для изучения какого-либо класса явлений внешнего мира строится его математическая модель, т.е. приближенное описание этого класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Сам процесс математического моделирования можно подразделить на четыре основных этапа:

I этап: Формулирование законов, связывающих основные объекты модели, т.е. запись в виде математических терминов сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

II этап: Исследование математических задач, к которым приводят математические модели.

Основной вопрос - решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.

III этап: Корректировка принятой гипотетической модели согласно критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений.

Если модель была вполне определена - все параметры ее были даны, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений.

Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются не определенными.

Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели.

IV этап: Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изученных явлениях и модернизация модели.

С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации. Экономические модели, исходя из общего процесса математического моделирования, строятся следующим образом:

Математическое моделирование в экономике

Математические методы, основанные на математическом моделировании, все шире применяются в промышленно-экономических исследованиях, в частности, в операционных исследованиях.

Операционные исследования являются методом выработки количественно обоснованных рекомендаций по принятию управленческих решений. Описание всякой задачи операционных исследований включает в себя задание факторов решения, которые являются численными переменными, налагаемых на них ограничений (отражающих ограниченность ресурсов) и системы целей.

Всякая система факторов решения, удовлетворяющих всем ограничениям, называется допустимым решением. Каждой из целей соответствует целевая функция, заданная на множестве допустимых решений, значения которых выражают меру осуществления цели.

Сущность задачи операционных исследований состоит в нахождении наиболее целесообразных, оптимальных решений. Поэтому задачи операционных исследований обычно называются оптимизационными.

Для разработки наиболее важных задач в операционных исследованиях широко используются математические модели, построенные на статистической или вероятностной (стохастической) основе. Они помогают учесть даже такие факторы, просчитать точное изменение которых практически невозможно.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами.

Теория очередей опирается на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым и А.Л. Ханчиным теорию массового обслуживания.

Теория массового обслуживания.

Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции (АТС). На АТС случайным образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

Предположим, что автоматическая линия связи имеет Математическое моделирование в экономике одинаково доступных для абонентов каналов. Вызовы поступают в случайные моменты времени. Если при поступлении очередного вызова все Математическое моделирование в экономике каналов лини связи оказываются занятыми, то поступивший вызов получает отказ и теряется. В противном случае немедленно начинается разговор по одному из свободных каналов, длящийся случайное время.

Одной из характеристик эффективности работы такой линии связи является доля вызовов, получающих отказ, т.е. предел Математическое моделирование в экономикеприМатематическое моделирование в экономикеМатематическое моделирование в экономике (если он существует) отношения Математическое моделирование в экономике числа Математическое моделирование в экономике вызовов, потерянных в течение времени Математическое моделирование в экономике, к общему числу Математическое моделирование в экономике вызовов, поступивших за это время. Этот предел можно назвать вероятностью отказа.

Другим показателем качества работы линии связи может служить отношение времени ее занятости, т.е. предел Математическое моделирование в экономике при Математическое моделирование в экономике (если он существует) отношения

 / Математическое моделирование в экономике, где  - суммарное время, в течение которого за период Математическое моделирование в экономике все Математическое моделирование в экономике каналов линии связи одновременно заняты. Этот предел можно назвать вероятностью занятости.

Обозначим Математическое моделирование в экономике число каналов, занятых в момент Математическое моделирование в экономике. Тогда можно показать, что: если , во-первых, моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий, во-вторых, длительности разговоров последовательных абонентов суть независимые (между собой и от моментов поступления вызовов) одинаково распределенные случайные величины, то случайный процесс Математическое моделирование в экономике , обладает эргодичным распределением, т.е. существуют [независящие от начального распределения Математическое моделирование в экономике ] пределы

Математическое моделирование в экономике

причем

Математическое моделирование в экономике(*)

где Математическое моделирование в экономике - произведение интенсивности потока поступлений вызовов на среднюю длительность разговора отдельного абонента.

Кроме того, в этом случае Математическое моделирование в экономике, и их общее значение равно Математическое моделирование в экономике.

Формулы (*), называемые формулами Эрланга, используются для расчета минимального количества каналов линии связи, обеспечивающей заданную вероятность отказа. При отказе от условия, что моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий, равенство Математическое моделирование в экономикене может выполняться.

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Задача планирования работы предприятия.

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье , рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставиться задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

Формализуем задачу: Пусть имеется Математическое моделирование в экономике количество технологических способов производства изделий и Математическое моделирование в экономике производственных факторов.

Введем обозначения:

Математическое моделирование в экономике - количество изделий, выпускаемых в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;

Математическое моделирование в экономике - расход i - го производственного фактора в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;

Математическое моделирование в экономике - имеющиеся ресурсы i - го производственного фактора;

Математическое моделирование в экономике - планируемое время работы по j - му технологическому способу.

Величина

Математическое моделирование в экономике

обозначает общий расход i - го производственного фактора при плане

Математическое моделирование в экономике.

Поскольку ресурсы ограничены величинами Математическое моделирование в экономике, то возникают естественные условия:

Математическое моделирование в экономике(1)
Математическое моделирование в экономике(2)

Ставится задача отыскания такого распределения времени (оптимального плана) Математическое моделирование в экономике работы по каждому технологическому способу при котором общий объем продукции был бы максимальным, т.е. определяется максимум линейной функции

Математическое моделирование в экономике

В операционных исследованиях эту функцию принято называть целевой функцией или критерием эффективности, вектор Математическое моделирование в экономике - планом, вектор Математическое моделирование в экономике - оптимальным планом , а множество, определенное условиями (1) - (2) - допустимым или множеством планов.

Еще одним ярким примером применения линейного программирования в экономике является так называемая транспортная задача.

Транспортная задача.

Это задача о наиболее рациональном плане перевозок однородного продукта из пунктов производства в пункты потребления.

Пусть имеется Математическое моделирование в экономике пунктов производства некоего однородного продукта Математическое моделирование в экономике и Математическое моделирование в экономике пунктов его потребления Математическое моделирование в экономике. В пункте Математическое моделирование в экономикеМатематическое моделирование в экономике производится Математическое моделирование в экономике единиц, а в пункте Математическое моделирование в экономикеМатематическое моделирование в экономике потребляется Математическое моделирование в экономике единиц продукта.

Предполагается, что

Математическое моделирование в экономике.

Транспортные издержки, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта Математическое моделирование в экономике в пункт Математическое моделирование в экономике равны Математическое моделирование в экономике .

Суть задачи состоит в составлении оптимального плана перевозок, минимизирующего суммарные транспортные издержки, при реализации которого запросы всех пунктов потребления Математическое моделирование в экономике, Математическое моделирование в экономике, были бы удовлетворены за счет производство продукта в пунктах Математическое моделирование в экономике , Математическое моделирование в экономике .

Пусть Математическое моделирование в экономике - количество продукта, перевозимого из пункта Математическое моделирование в экономике в пункт Математическое моделирование в экономике. Тогда транспортная задача формулируется так: определить значения переменных Математическое моделирование в экономике , Математическое моделирование в экономике,Математическое моделирование в экономике, минимизирующих транспортные издержки.

Математическое моделирование в экономике

при условиях,

Математическое моделирование в экономике(1)
Математическое моделирование в экономике(2)
Математическое моделирование в экономике.(3)

Множество Математическое моделирование в экономике, удовлетворяющее этим условиям, называется планом перевозок, а его элементы - перевозками.

На основе метода математического моделирования в операционных исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических методов решения. К их числу относятся:

Задача надежности изделий. Задача замены оборудования. Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования). Задача распределения ресурсов. Задача ценообразования. Теория сетевого планирования. Задача надежности изделий.

Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности.

Для оценки изделий , которые могут находиться в двух возможных состояниях - работоспособном и отказовом, применяются следующие показатели:

Математическое моделирование в экономике - среднее время работы до возникновения отказа (наработка до первого отказа);

Математическое моделирование в экономике - наработка на отказ;

Математическое моделирование в экономике - интенсивность отказов;

Математическое моделирование в экономике - параметр потока отказов;

Математическое моделирование в экономике - среднее время восстановления работоспособного состояния;

Математическое моделирование в экономике- вероятность безотказной работы за время t ;

Математическое моделирование в экономике - коэффициент готовности.

Существуют следующие соотношения между показателями надежности:

Математическое моделирование в экономике;
Математическое моделирование в экономике;
Математическое моделирование в экономике.

Для восстановленных изделий вероятность появления Математическое моделирование в экономике отказов за время Математическое моделирование в экономике в случае простейшего потока отказов определяется законом Пуассона:

Математическое моделирование в экономике.

Из него следует, что вероятность отсутствия отказов за время Математическое моделирование в экономике равна

Математическое моделирование в экономике -

Данная зависимость называется экспоненциальным законом надежности.

Задача распределения ресурсов.

Вопрос распределения ресурсов является одним из основных в процессе управления производством. Для решения этого вопроса в операционных исследованиях пользуются построением линейной статистической модели.

Предположим, что предприятие располагает Математическое моделирование в экономике видов ресурсов и Математическое моделирование в экономике видов продукции, производимой с использованием этих ресурсов. Необходимо так распределить ресурсы, чтобы обеспечить максимальный объем продукции, и , следовательно, увеличение прибыли от ее реализации.

Введем следующие обозначения:

Математическое моделирование в экономике- количество ресурсов i-го вида Математическое моделирование в экономике;

Математическое моделирование в экономике- максимальный объем выпуска продукции j-го вида Математическое моделирование в экономике;

Математическое моделирование в экономике- количество единиц i-го ресурса, необходимого для производства единицы продукции j-го вида;

Математическое моделирование в экономике- прибыль от реализации единицы продукции j-го вида;

Математическое моделирование в экономике- количество единиц продукции j-го вида.

Совокупная прибыль стремится к максимуму, т.е.

Математическое моделирование в экономике

Следовательно,

Математическое моделирование в экономике Задача ценообразования.

Для предприятия вопрос образования цены на продукцию играет немаловажную роль. От того, как проводится ценообразование на предприятии, зависит его прибыль. Кроме того, в существующих сейчас условиях рыночной экономики цена стала существенным фактором в конкурентной борьбе.

Допустим, что на предприятии производится Математическое моделирование в экономике видов продукции. Обозначим за Математическое моделирование в экономике объем продукции i-го типа, который надо производить ,

Введем следующие обозначения:

Математическое моделирование в экономике - объем продукции i-го типа, который надо производить ;

Математическое моделирование в экономикеМатематическое моделирование в экономике- цена продукции i-го типа, которую нужно определить;

Математическое моделирование в экономике - себестоимость i-го вида продукции.

На рынке цены меняются, но на основе его изучения можно определить существование усредненной цены Математическое моделирование в экономике.

Математическое моделирование в экономике

Любое предприятие стремится к получению максимальной прибыли, т.е.

Математическое моделирование в экономике

Следовательно, можно считать, что Математическое моделирование в экономике.

Надо также учесть , что при образовании цены кадого вида продукции необходимо учитывать его качество, т.е. учесть зависимость цены от качества (Математическое моделирование в экономике).

Математическое моделирование в экономике

Так как Математическое моделирование в экономике выражает только часть себестоимости i-го вида продукции, без учета доли общих производственных издержек, ложащихся на продукцию, то определяем полную себестоимость i-го вида продукции

Математическое моделирование в экономикеМатематическое моделирование в экономике

Так как величины Математическое моделирование в экономике и Математическое моделирование в экономике являются постоянными, то данная задача решается с помощью метода линейного программирования.

Теория сетевого планирования.

Сетевое планирование и управление (СПУ), является системой планирования управления разработкой крупных хозяйственных комплексов, конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов товаров, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Сущность СПУ состоит в составлении математической модели управляемого объекта в виде сетевого графика или модели находящейся в памяти ЭВМ, в которых отражается взаимосвязь и длительность определенного комплекса работ. Сетевой график после его оптимизации средствами прикладной математики и вычислительной техники используется для оперативного управления работами.

Пример сетевого графика:

Математическое моделирование в экономике

Кружочками на сетевом графике обозначается событие, т.е. начало иди конец работы, а линией со стрелкой - действия, которые надо совершить, чтобы перейти от предшествующего события к последующему.

Важным элементом разработки сетевого графика является определение продолжительности путей. Пути представлены линиями, образуемыми стрелками взаимосвязанных работ, концы которых указывают на начальное и конечное события. Различают полный и критический пути:

Полный путь (Lп) - путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец - с ее завершающим событием. Критический путь (Lкп) - путь, имеющий наибольшую продолжительность и характеризующий время выполнения всего комплекса работ, всего проекта в целом, т.е. время достижения конечной цели.

Исходя из этих элементов, при планировании длительности работ с использованием сетевого графика рассчитываются несколько показателей, выражающих достоверную оценку времени работы :

Оптимальная оценка времени (минимальная продолжительность работ), т.е. наиболее ранний срок совершения событий при наиболее благоприятных условиях. Он рассчитывается как сумма всех работ, находящихся на предшествующем завершающему событию максимальном пути (Тр) Математическое моделирование в экономике Пессимистическая оценка времени (директивный срок) - максимальная продолжительность времени, необходимого для выполнения необходимого для выполнения работы при наиболее неблагоприятных условиях - (Тп) Математическое моделирование в экономике ; где Математическое моделирование в экономике - критический путь. Наиболее вероятная продолжительность времени -Тв, показывает время выполнения работы в нормальных условиях. Определяется по следующей формуле: Математическое моделирование в экономике Резерв времени: Математическое моделирование в экономике . При Математическое моделирование в экономике

Решение экономических задач с помощью метода математического моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом. Следовательно, математическое моделирование как метод тесно соприкасается с теорией принятия решений в менеджменте.


Информация о работе «Математическое моделирование в экономике»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 16669
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
21197
5
1

... , в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к ...

Скачать
26286
0
0

... системы цен по остальным товарам. Конец XIX – начало XX века ознаменовались широким использованием математики в экономике. В XX в. математические методы моделирования используются столь широко, что почти все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике, связаны с их применением (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Л. Канторович и др.). Развитие предметных дисциплин в большинстве ...

Скачать
51386
5
18

... ai- расход сырья на единицу продукции; B - общий запас сырья; W - область допустимых ограничений; Тема 2. Метод математического моделирования в экономике. 2.1. Понятие “модель” и “моделирование”. С понятием “моделирование экономических систем” (а также математических и др.) связаны два класса задач: 1)            задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее ...

Скачать
19308
0
0

... производственной функции, моделей поведения фирмы, моделей общего экономического равновесия, прежде всего модели Л. Вальраса и ее модификаций. Глава 2. История развития экономико-математического моделирования в США Для характеристики математического направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии. Как в теоретическом, ...

0 комментариев


Наверх