S^2 - 0.02422 s + 0.008271

0.01754 s^2 - 0.02422 s + 0.008271

--------------------------------------

s^3 + 0.5502 s^2 + 0.1395 s + 0.009408

Приведенные передаточные функции являются одной и той же моделью, записанной в разных формах и форматах.

Проанализируем динамические характеристики модели. Для чего построим переходную характеристику ТОУ для дискретной и непрерывной моделей и определим основные показатели переходного процесса.

На графиках переходных процессов ступенчатой линией представлен переходной процесс дискретной модели, а сплошной линией – непрерывной модели. Основные характеристики переходного процесса следующие:

·  Время нарастания переходного процесса (Rise time) составляет для дискретной модели 22.5, а для непрерывной – 22.2;

·  Время регулирования (Setting time) составляет для дискретной модели 37.5, а для непрерывной – 37.5;

·  Установившееся значение выходной величины (Final value) для дискретной модели и непрерывной – 0.879.

Для построения переходной характеристики воспользуемся командой:

>> step(zn4s,sn4s)

Рисунок 2.1.9 Переходные характеристики дискретной и непрерывной моделей

Для построения импульсной характеристики воспользуемся командой:

>> impulse(zn4s,sn4s)

Рисунок 2.1.10 Импульсные характеристики дискретной и непрерывной моделей

Основными характеристиками модели ТОУ при подаче на вход единичного импульсного воздействия являются (см. рисунок 2.1.10):

·  Пиковая амплитуда (Peak amplitude) составляет для дискретной модели 12.5, а для непрерывной – 11.1.

·  Время регулирования составляет для дискретной модели 45 с., а для непрерывной модели 42.3 с.

Определим частотные характеристики моделей с помощью команды:

>> bode(zn4s,sn4s)

Рисунок 2.1.11 Частотные характеристики дискретной и непрерывной моделей

На графиках частотных характеристик ЛАХ и ЛФХ указаны значения запасов устойчивости (см. рисунок 2.1.11):

·  по амплитуде (Gain Margin), которые для дискретной модели составляют 9.19 dB, а для непрерывной модели – 10.3 dB.

·  по фазе (Phase Margin), которые для дискретной и непрерывной модели равны бесконечности.

Анализ частотных характеристик показывает, что модели zn4s и sn4s являются устойчивыми с соответствующими запасами устойчивости по амплитуде. Запас устойчивости по фазе равен бесконечности.

Этот вывод подтверждается так же комплексной амплитудно-фазовой характеристикой АФХ, которая в зарубежной литературе называется диаграммой Найквиста, так как годограф АФХ не пересекает точку комплексной плоскости с координатами -1,j0.

Для построения АФХ необходимо воспользоваться командой:

>> nyquist(zn4s,sn4s)

Рисунок 2.1.12 Амплитудно фазовые характеристики дискретной и непрерывной моделей

Значения запасов устойчивости можно определить также и в режиме командной строки MATLAB с помощью команды

Для непрерывной модели	Для дискретной модели
>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sn4s) Gm = 3.2786 Pm = Inf Wcg = 0.2452 Wcp = NaN >> Gmlog=20*log10(Gm) Gmlog = 10.3138	>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(zn4s) Gm = 2.8807 Pm = Inf Wcg = 0.2171 Wcp = NaN >> Gmlog=20*log10(Gm) Gmlog = 9.1899

где Gm – запас устойчивости по амплитуде в натуральных величинах на частоте Wcg, Pm – запас устойчивости по фазе на частоте Wcp.

Как видно, определение запасов устойчивости последним способом позволяет значительно точнее вычислять эти значения, чем на графиках частотных характеристик.

Определим статический коэффициент усиления модели ТОУ с помощью команды:

>> k=dcgain(sn4s)

k=

0.8791

Для решения задач анализа и синтеза систем управления важно знать ответ на другой не менее важный вопрос, чем полученные временные, частотные и статистические характеристики: обладает ли объект свойством управляемости в смысле возможности его перевода из заданной начальной точки (или области) в заданную конечную точку (или область)? До второй половины девятнадцатого столетия проблема управляемости - проблема установления обладания объектом свойством управляемости решалась чисто интуитивно на основе инженерных знаний и опыта. В настоящее время, с развитием метода переменных состояния стало возможным строгое определение свойства управляемости и установление критерия управляемости.

Решение проблемы управляемости основано на анализе уравнений переменных состояния и формулируется следующим образом: объект называется вполне управляемым, если выбором управляющего воздействия u(t) на интервале времени [t_0> t_k;] можно перевести его из любого начального состояния y(t_o) в произвольное заранее заданное конечное состояние y(t_k).

Критерием управляемости линейных стационарных объектов является условие: для того чтобы объект был вполне управляем, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости

М_и = (В АВ А²В ... А^n-1 В)

равнялся размерности вектора состояний п

rang M_u = n.

В пакете Control System Toolbox имеется функция ctrb, формирующая матрицу управляемости в пространстве состояний. Для того, чтобы воспользоваться этой функцией необходимо вычислить матрицы А, В, С, D с помощью команды:

>> [A,B,C,D]=ssdata(sn4s)

A =

-0.5502 -0.1395 -0.0188

1.0000 0 0

0 0.5000 0

B =

0.2500

0

0

C =

0.0702 -0.0969 0.0662

D =

0

Вычислим матрицу управляемости:

>> Mu=ctrb(A,B)

Mu =

0.2500 -0.1375 0.0408

0 0.2500 -0.1375

0 0 0.1250

Определим ранг матрицы управляемости:

>> n1=rank(Mu)

n1 =

3

Таким образом, для исследуемой модели объекта размерность вектора состояний, определяемая размером матриц А и В равна трем и ранг матрицы управляемости М_u также равен трем, что позволяет сделать вывод о том, что объект автоматизации является вполне управляемым, т.е. для него имеется такое управляющее воздействие u(t), которое способно перевести на интервале времени [t_o, t_k] объект из любого начального состояния у (t_o) в произвольное заранее заданное конечное состояние y(t_k).

При синтезе оптимальных систем с обратной связью сами управления получаются как функции от фазовых координат. В общем случае фазовые координаты являются абстрактными величинами и не могут быть исследованы. Поддается измерению (наблюдению) вектор у = (у₁, ...,y_k)^T , который обычно называют выходным вектором или выходной переменной, а его координаты - выходными величинами. Выходная переменная функционально связана с фазовыми координатами, и для реализации управления с обратной связью необходимо определить фазовые координаты по измеренным значениям выходной переменной. В связи с этим возникает проблема наблюдаемости, заключающаяся в установлении возможности состояния определения состояния объекта (фазового вектора) по измеренным значениям выходной переменной на некотором интервале.

Решение проблемы наблюдаемости основано на анализе уравнений переменных состояния и формулируется следующим образом: объект называется вполне наблюдаемым, если по реакции y(t_k) на выходе объекта, на интервале времени [t₀, t_k] при заданном управляющем воздействии u(t) можно определить начальное состояние вектора переменных состояния x(t), являющихся фазовыми координатами объекта.

Критерием наблюдаемости линейных стационарных объектов является условие: для того, чтобы объект был вполне наблюдаемым, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости

My = (С^ТА^ТС^Т (А^Т)²С^Т ... (A^T)^n-1C)

равнялся размерности вектора состояния

п = rang M_Y.

Определим матрицу наблюдаемости:

>> My=obsv(A,C)

My =

0.0702 -0.0969 0.0662

-0.1355 0.0233 -0.0013

0.0978 0.0182 0.0025

Определим ранг матрицы наблюдаемости:

>> n2=rank(My)

n2 =

3

Таким образом, для исследуемой модели объекта размерность вектора состояний, определяемая размером матриц А и С равна трем и ранг матрицы наблюдаемости M_Y также равен трем, что позволяет сделать вывод о том, что объект автоматизации является вполне наблюдаемым, т.е. для него всегда можно определить по, значениям выходной величины y(t) вектор переменных состояния, необходимый для синтеза системы управления.