Двойные смежные классы

Двойные смежные классы НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ Фактор-группы

19424

знака

таблиц

изображений

Фактор-группы. Cмежные классы Читать далее: НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ

2.3. Двойные смежные классы

Пусть H и K – подгруппы группы G и g Î G. Множество

HgK ={ hgk | h Î H, k Î K}

называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K

ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Каждый элемент gÎ G содержится в единственном двойном смежном классе HgK;

2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;

3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;

4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;

5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит

| K: H K | правых смежных классов по H и | H : H K| левых смежных классов по К.

Доказательство.

(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то

g=ege Î HgK

Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxk для некоторых hÎH, kÎK и

HgK=H(hxk)K=HxK.

(2) и (3) следуют из (1)

(4)Так как

HgK= =,

то утверждение (4) доказано.

Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK= по подгруппе H. Допустим, что Hgk=Hgk. Тогда

Hg kk = Hg и kk Î gHgK=HK

Справедливо и обратное, т.е. если kkÎ HK, то

kkÎ gHg, g kkÎHg, g kÎHgk

и Hg k= Hgk. Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе K по подгруппе HK.

Аналогично,

Hgk= и hgK=hgK

тогда и только тогда, когда hhÎHK. Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет точно столько, каков индекс

|H : H K|

Произведение подгрупп. При g = e двойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH , kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K . В общем случае HK не является подгруппой.

Пример:

Найдем разложение симметрической группы S в левые смежные классы по подгруппе .