Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

 

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

 

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μg) = λLf + μLg (1)

При этом множество M = M_L называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

 

Линейные уравнения

Пусть L — линейный оператор с областью определения M_L . Уравнение

 

Lu = F (2)

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_L — решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

 

Lu = 0 (3)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_о этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

 

и = и_о + ŭ.

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в M_L, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в M_L. Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в M_L. Обозначим через R_l область значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает M_L. Тогда для любого F Є R_l уравнение (2) имеет единственное решение и Є M_L , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из R_l соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L^-1, так что

 

и = L^-1F. (4)

Оператор L^-1, очевидно, является линейным и отображает R_l на M_L. Непосредственно из определения оператора L^-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

 

L L^-1F = F, F Є R_l; L^-1Lu = u, и Є M_L,

т.е. L L^-1=I, L^-1L = I.

Если линейный оператор L имеет обратный L^-1, то системы функций {φ_k} и {Lφ_k} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ_k принадлежат M_L.)

Рассмотрим линейное однородное уравнение

 

Lu = λu, (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M_L. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_L, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u₁,...,и₂ — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

 

u₀ = c₁u₁ + c₂u₂ + ... + c_ru_r

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

 

Lu = λ u + f (6)

существует, то его общее решение представляется формулой

 

и = и* +∑с_kи_k, (7)

где и* — частное решение (6) и с_k, k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.

 

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L, переводящий M_LСL₂(G) в L₂(G), называется эрмитовым, если его область определения M_L плотна в L₂(G) и для любых f и g из M_l справедливо равенство

 

(Lf,g) = (f,Lg ).

Выражения (Lf, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є M_l, где M_l плотна в L₂(G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L, переводящий M_l С L₂(G) в L₂(G), называется положительным, если M_l плотна в L₂(G) и

(Lf, f) ≥ 0, f Є M_l .

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ₀ — собственное значение, u₀ — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u₀ = λ₀u₀. Умножая скалярно это равенство на u₀, получим

 

(Lu₀, u₀) = (λ₀ u₀, u₀) = λ₀ (u₀, u₀) λ₀|| u₀||² = λ₀. (8)

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ₀ — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и₁ и и₂, соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂, ортогональны. Действительно, из соотношений

 

Lu₁ = λ₁ и₁, Lu₂ = λ₂и₂,

из вещественности λ₁ и λ₂ и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

λ₁(и₁,и₂) = (λ и₁,и₂) = (Lи₁,и₂) = (и₁,Lu₂) = (и₁,λ₂и₂) = =λ₂(и₁,и₂),

т.е. λ₁(и₁,и₂) = λ₂(и₁,и₂). Отсюда, поскольку λ₁ ≠ λ₂, вытекает, что скалярное произведение (и₁,и₂) равно нулю. Теорема доказана.

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ₁,λ₂,..., повтори λ_k столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и₁,и₂,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и_k:

 

Lu_k = λ_k , и_k, k = 1,2,...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ_k} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ₁,ψ₂,... линейно независимых функций из L₂(G) преобразуется в ортонормальную систему φ₁,φ₂, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

 

φ₁ = ψ₁ /||ψ₂ || , φ₂ = ψ₂ – (ψ_2, φ₁) φ₁ / || ψ₂ – (ψ_2, φ₁) φ₁ ||

φ_k= ψ_k– (ψ_k, φ_k-1)φ_k-1 – … – (ψ_k,φ₁)φ₁ / || ψ_k– (ψ_k, φ_k-1)φ_k-1 – … – – (ψ_k,φ₁)φ₁||

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций {и_к} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

 

(Lu_k,u_i ) = λ_k(и_k,u_i) = λ_kδ_ki

Список литературы

 

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.