Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы

2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.

3. Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм».

 Сразу же за вступлением И. Бернулли пишет: «Из предыдущего известно, что dx есть дифференциал х, что хdх есть дифференциал ½*х2 или ½*x2 плюс или минус постоянная, x2dx — дифференциал 1/3*x3 плюс или минус постоянная... также аdх — дифференциал ах и т. д., axdx – дифференциал ½*ax2 ах3dx— дифференциал ¼*ax4 и т. д.” После этого дается общее правило: «ахp есть дифференциал количества axp+1/(p+1). Иными словами: ∫хpdx = хp+1/(р+1)*(+С). И. Бернулли применяет это правило к случаю P=-1 и получает ∫ dx/x = ∞. Однако впоследствии он исправляет ошибку.

Затем рассматриваются некоторые вариации общей формулы: случаи, когда можно выделить дифференциал подкоренного выражения, и т. д.

Вторая лекция посвящена вычислению площадей. И в этом вопросе И. Бернулли развивал идеи Лейбница и писал: « Площади рассматривают как разложенные на части, каждую из которых можно считать дифференциалом площади. Если имеют интеграл этого дифференциала, т. е. сумму этих частей, то отсюда будет известна и искомая квадратура».

После обсуждения различных способов разбиения фигуры И. Бернулли делает заключение: когда частичные площадки ограничены ординатами и кривой, дифференциал каждой из них будет уdх. Если кривая задается, то у выражается через х вполне определенно, и уdх будет «полностью выражаться через х». Он приводит пример: дана парабола у2=ах; дифференциал площади будет √ах dх, его интеграл 2/3х√ах, или 2/3xу. С необычайной простотой И. Бернулли нашел результат, считающийся важнейшим достижением геометрии древних, состоящий в том, что площадь сегмента параболы равна 2/3 площади соответствующего прямоугольника ху.

Содержание следующих лекций весьма разнообразно: квадратуры площадей, кривых, «обратные задачи», соприкасающиеся кривые и эволюты, каустики; завершают книгу пять лекций, посвященных решению физико-механических задач, в том числе задачи и цепной линии — одной из первых задач механики нити. Поражает в тех и других лекциях, кроме содержания, высочайшее методическое мастерство. Все в них все как у опытного лектора, хотя ему было всего 24 года. И лекций по анализу бесконечно малых до него не читал никто.

Мало займет места изложение широко известного правила Лопиталя, но следует его выделить среди общего рассмотрения творчества И. Бернулли. В письме 22 июля 1694 г. И. Бернулли ответил Лопиталю на вопрос о том, как следует поступать, когда необходимо найти значение неопределенности вида О/О. И сообщил геометрическое доказательство высказанному правилу. Оно вошло в учебник Лопиталя «Анализ бесконечно малых».

Лопиталь формулирует задачу так: «.Пусть величина ординаты у кривой АМD (АР=х, РМ=у, АВ=а) выражается дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при х=а, т. е. когда точка Р совпадает с данной точкой В. Спрашивается, какой должна быть при атом величина ординаты ВD».

Решение задачи выглядит так. На общей «оси» строятся кривые АNВ и СОВ, причем ордината РN входит в числитель, а РО — в знаменатель дроби для всех РМ, так что РМ=АМ•РN/РО.

Обе кривые пересекаются в точке В, поскольку, по предположению,

величины РN и РО обращаются в нуль, когда точка Р совпадает с В. Затем вводится ордината bd, близкая к ВD и пересекающая кривые в точках f и g. Для нее будет Bd=AB*bf/bg, что не отличается от ВD в силу одного из основных допущений, выдвинутых автором, о том, что если имеются две величины, отличающиеся друг от друга на бесконечно малую, то можно брать одну из них вместо другой. Следовательно, необходимо найти отношение bg к bf.

Когда АР обращается в АВ, обе ординаты РN и РО обращаются в нуль, «а когда АР обращается в Аb, ординаты обращаются в bf и bg». Значит, ординаты bf и bg являются дифференциалами кривых АNВ и СОВ в точках В и b. Поэтому для нахождения искомого значения bd иди ВD нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а=Аb или АВ, «что и требовалось найти»,— заключает Лопиталь.

В следующем параграфе правило применяется к нахождению предельного значения

y = (√2a3x – x4 - a√a2x)/(a - √ax3) при х=а.

Лопиталь пишет: нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а. Получим число 16а/9 «для искомой величины ВD».

В августе 1704 г., вскоре после смерти Лопиталя, И. Бернулли выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в «Анализе» методы. Это была заметка «Усовершенствование моего опубликованного в “Analyse des infiniment petits” § 163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают». Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил в письме Лопиталю лет 10 назад, а также решил пример, помещенный в § 164, который французские математики и Лопиталь решить не могли. В той же заметке И. Бернулли, «движимый любовью к истине», отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз.

Одновременно с развитием дифференциального и интегрального исчислений шла разработка методов решения дифференциальных уравнений. В интегрировании уравнений первого порядка были достигнуты значительные успехи. В «Математических лекциях о методе интегралов и о других вопросах, написанных для маркиза Лопиталя» решено однородное уравнение dy/dx=f(y/x) подстановкой у=хt. Там же изложен метод приведения к однородному уравнения dy/dx=f((ax+by+c/(a1x + b1y + c1)) подстановками x = ξ + h, у = η +h; при этом не упомянут случай ab1-a1b=0. В «Лекциях» И. Бернулли применил интегрирующий множитель к уравнению ахdу—уdх=0. Он умножил члены уравнения на уa-1/x2 и получил d(ya/x;)=0, откуда уa=bх. Непосредственное разделение переменных в этом уравнении И. Бернулли не выполнил, так как считал, что в соответствии с формулой ∫хndх=хп+1/(n+1) будет ∫dx/x=∞. (Как известно, впоследствии он выражал этот интеграл через ln x.)

В письме Лейбницу 4 сентября 1696 г. И. Бернулли показал, что «уравнение Бернулли» dy/dx=р(х)у+q(х)уn сводится заменой у1-n=z к линейному. Из письма Лейбницу в том же году следует, что И. Бернулли проинтегрировал уравнение у=хφ(dу/dх)+ψ(dу/dх), называемое теперь уравнением Лагранжа. Около 1700 г. И. Бернулли применил интегрирующий множитель xk для последовательного понижения порядка уравнения Эйлера

а0хndпу/dхn+а1хп-1dп-1у/dхn-1+ … +аn-1хdу/dх+аny=0.

Помимо этого И. Бернулли занимался еще уравнением Риккати и задачей о колебании струны.

Статья И. Бернулли «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка» содержит идею метода изоклин, применяемого при графическом решении уравнений первого порядка. Существо вопроса состоит в следующем. Общему решению у=f(x; С) дифференциального уравнения первого порядка у'=f(х; у) на плоскости соответствует семейство интегральных кривых. Само уравнение определяет в каждой точке плоскости значение у', т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если всюду на плоскости задается значение некоторой величины, то говорят о поле этой величины. Значит, дифференциальное уравнение задает поле уравнений, а задача нахождения общего решения уравнения состоит в отыскании кривых, для которых направления касательных совпадают с направлениями поля.

III

Третий гениальный представитель рода Бернулли, Даниил, занимает среди Бернулли и в науке особое место. Особенность эта объясняется, во-первых, разносторонностью его научных интересов и значительностью полученных им результатов практически во всех областях точного естествознания своего времени, во-вторых, прикладной направленностью исследований. В книгах, в какой-либо мере связанных с историей науки, Даниила Бернулли называют по-разному: физиологом, астрономом, физиком, математиком, механиком, гидродинамиком. И не без основания: Д. Бернулли вместе с Л. Эйлером, И. Бернулли, Ж. Д’Аламбером, Ж. Лагранжем и другими выдающимися математиками и механиками XVIII в. создавал основы классической науки.

В очерке о роде Бернулли говорилось, что в 1723 г. Д. Бернулли отправился в Венецию для занятия медициной под руководством итальянского врача П. А. Микелотти. За два года до приезда Д. Бернулли в Венеции была опубликована «физико-механико-медицинская» диссертация Микелотти «О разделении жидкостей в теле животного», в которой рассматривались вопросы гидродинамики живых организмов. Она вышла в одном переплете со вторым изданием медицинской диссертации И. Бернулли «О движении мускулов», что свидетельствовало о научном авторитете Бернулли среди итальянских ученых и благоприятствовало деятельности Д, Бернулли в Венеции.

С помощью «одного знатного венецианца» Д. Бернулли в 1724 г. издал «Математические упражнения» («Даниила Бернулли из Базеля, сына Иоганна, некоторые математические упражнения»), направленные в защиту идей отца и дяди от нападок некоторых итальянских ученых. Книга представляет как бы обзор научной деятельности автора за предыдущие годы и содержит многие идеи, развитые им впоследствии. Через год некоторые результаты были опубликованы в «Acta Eruditorium» и стали достоянием более широкого круга ученых.

«Математические упражнения» состоят из четырех разделов: три посвящены математике, один (второй) — приложениям математики к гидравлике и медицине. В части книги, связанной с математикой, Бернулли полимезирует с итальянскими математиками (Д. Ризетти, Д. Риккати и др.) по разрабатываемой в то время чистой математике. Здесь содержится много ссылок на работы, помещенные в разное время в «Acta Eruditorium»; это служит свидетельством того, что автор был в курсе новейших открытий. Наиболее значима часть книги, посвященная исследованию дифференциального уравнения Риккати.

Развитие математики в первой половине XVIII в. характеризовалось тем, что наряду с детальным рассмотрением различных классов функций наблюдалось дальнейшее исследование дифференциальных уравнений и применение их к задачам механики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления. Уравнения интегрировались как в конечном виде, так и с помощью рядов.

Ко времени опубликования «Математических упражнений» в работах Лейбница, Я. и И. Бернулли были найдены способы интегрирования однородных и линейных уравнений первого порядка, а также уравнений Я. Бернулли.

y'=f(х; у), в котором правая часть является функцией отношения у/х. В 1693 г. Лейбниц нашел метод сведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у=их.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид у'+Р(х)у=Q(х).

Метод решения таких уравнений, когда функция у отыскивается в виде произведения двух новых функций (у=иу), был разработан примерно в то же время и также Лейбницем. Уравнение вида

y'+Р(х)у=Q(х)уп предложил Я. Бернулли. Оно в 1696—1697 гг. было решено тем же методом, что и линейное, Лейбницем, Я. и И. Бернулли; кроме того, Лейбниц и И. Бернулли показали, что оно сводится к линейному подстановкой y1-n=z

К некоторым уравнениям применялся также интегрирующий множитель. Я. Бернулли предложил прием понижения порядка к уравнению второго порядка, не содержащему явно одной из переменных, заменой y'=p. Работа Я. Бернулли увидела свет позднее, после того как Риккати в 1715 г. опубликовал свое исследование о том же методе.

В 1694 г. в «Асtа Eruditorium» И. Бернулли поместил небольшую статью, в которой упоминалось уравнение тина Риккати. Он писал: «Я еще не выяснил, можно ли разрешить дифференциальное уравнение х2dх + у2dх = d2у». После этой публикации уравнением y’=у2+х2

заинтересовался Я. Бернулли, о чем свидетельствуют его письма Лейбницу в 1697—1704 гг. «Я бы хотел далее от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dу=у2dх+х2dх,— писал Я. Бернулли Лейбницу 27 января 1697г.— Я делал множество попыток, но решение этой задачи постоянно ускользало от меня». «Кстати, я вспоминаю другое уравнение dу=у2dх+х2dх,— писал он Лейбницу 15 ноября 1702 г.,— в котором мне не удалось разделить переменные так, чтобы уравнение осталось просто дифференциальным; но я разделил их сведением к следующему дифференциальному уравнению: d2у:у=-х2dx2».

Хотя Я. Бернулли не удалось решить уравнение в конечном виде, интерес к нему у математиков утих. Лишь в 1724 г. граф Джакопо Риккати в Дополнении VIII к «Асtа Eruditorium» поставил задачу: для уравнения у'=ахп+bу2 (а и b — постоянные) найти значения п, при которых оно допускает разделение переменных. Ею занялись Иоганн I, Николай I, Николай II и Даниил Бернулли, но, кроме Даниила, существенных результатов никто не получил.

Д. Риккати свое решение в упомянутом дополнении выразил в виде анаграммы.

В том же выпуске «Асta Eruditorum» была помещена заметка Д. Бернулли, в которой он написал, что уравнение ахndх+ииdх=bdи считается неразрешимым.

Бернулли приступил к исследованию уравнения и вскоре опубликовал свои результаты в «Математических упражнениях». Он установил, что уравнение Риккати допускает интегрирование в конечном виде в случаях n= -4k/(2k±1) (k—целое число).

Случай п=—2 рассмотрел Эйлер. В 1841 г. Лиувилль доказал, что в случаях, отличных от указанных Д. Бернулли и Эйлером, решение уравнения Риккати не сводится к квадратурам и не может быть выражено с помощью конечного числа элементарных функций. Уравнение

у'+а(х)y2+b(x)y+c(x)=0

теперь называют обобщенным уравнением Риккати. Его исследовал Эйлер и установил, что если известно одно частное решение у1(х) уравнения, то подстановка y=y1 (х)+1/и{х) приводит его к линейному. Если же известны два частных решения y1(x) и у2(x), то общий интеграл уравнения находится одной квадратурой.

Интерес к уравнению Риккати объясняется тем, что оно встречается при решении некоторых задач механики; кроме того, к нему можно свести любое линейное уравнение второго порядка.

Интересы Д. Бернулли были разнообразны. И вскоре он заинтересовался древней неразрешимой задачей квадратуры круга просуществовавшей многие века, будоража умы математиков всех времен. Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) пытался справиться с квадратурой круга при помощи квадрируемых фигур, ограниченных дугами двух окружностей, названных гиппократовыми луночками. Такую луночку можно, например, построить следующим образом: возьмем четверть круга радиуса r и на хорде АС, соединяющей концы радиусов ОА и ОС, опишем как на диаметре внешнюю по отношению к четверти круга полуокружность.

Тогда АС=r√2 и площадь четверти большего круга будет такой же, как площадь меньшего полукруга, т. е. πr2/4.

Пусть S—площадь луночки, S1, S2, S3, S4, —площади соответственно меньшего полукруга, сегмента АС, четверти большего круга, треугольника ОАС. Найдем

S=S1-S2, S2=S3—S4,

поэтому

S= πr2/4- (πr2/4-S4) =S4.

Итак, S=r2/2. Это значит — луночка квадрируема.

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Д. Бернулли в «Математических упражнениях» указал условие, которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку.

Однако луночки Гиппократа задачу о квадратуре круга вперед к решению не продвинули: в 30—40-х годах XX в. И. Г. Чеботаревым и А. В. Дородновьш доказано, что существует пять видов квадрируемых луночек, но они не квадрируемы вместе с кругом.

Вторая часть «Математических упражнений», посвященная вопросам механики, по объему составляет почти половину книги.

В 1725 г. Д. Бернулли вместе с И. Бернулли получил первую премию на объявленном Парижской академией наук первом конкурсе на тему «О средствах сохранять равномерность водяных или песочных часов на море». Считается, что этот успех исследования по прикладной механике определил постоянный интерес Д. Бернулли к практическим задачам. И 5 июля 1725 г. был подписан контракт, по которому Д. Бернулли предоставлялось место профессора физиологии Петербургской академии наук с жалованьем 800 рублей в год; 27 октября 1725 г. он вместе с братом Николаем II Бернулли, получившим профессуру по кафедре математики с окладом 1000 рублей (самым высоким из всех платившихся академикам—составлял 4% от суммы, отпущенной Петром I на организацию академии), прибыл в Петербург. В духе механистических воззрений XVII—XVIII вв. Д. Бернулли на кафедре анатомии и физиологии намеревался с помощью механикоматиматических методов изучать тайны живой природы. Он хотел открыть «новую эпоху в физиологии» (из письма Гольдбаху от 17 июня 1730 г.). Произошло же совсем иное: открытия Д. Бернулли легли в основу гидродинамики, гидравлики, физиологии; они применяются в геологии, при исследовании динамики звёзд, в других областях точного естествознания.

Уже упоминалось, что 4 декабря 1725 г. на собрании академиков Д. Бернулли сделал сообщение «Возражение Питкарну против его теории о выделении соков в теле животного». На эту же тему через две недели он сделал второй доклад. Впоследствии тематика исследований Д. Бернулли изменилась: он стал изучать движение мышц человека и животных.

В связи с этим встали чисто механические задачи, определившие сообщения Д. Бернулли: «О сложении и разложении сил» (1 февраля 1726 г.), «Геометрические доказательства к рассуждению о сложении сил» (14 июня 1726 г.) и первые публикации в первом томе «Комментариев» Петербургской академии наук (1728) — «Исследование принципов механики и геометрические доказательства относительно сложения и разложения сил», «Опыт новой теории движения мускулов». В этих работах Д. Бернулли развивал идеи, изложенные И. Бернулли в диссертации «О движении мускулов».

Смерть Николая Бернулли омрачила первые годы жизни Д. Бернулли в Петербурге. На заседании Академии наук 1 августа 1726 г. императрица Екатерина I выразила Д. Бернулли свое соболезнование.

Вскоре умерла Екатерина I; пришедший на престол Петр II переехал в Москву, куда отправился и президент академии Блюментрост. Фактическим руководителем академии стал бывший библиотекарь Петра I И. Д. Шумахер, и это не благоприятствовало работе академии.

По инициативе и настоянию Д. Бернулли в 1727 г. в Петербург был приглашен великий Л. Эйлер. Он занял место адъюнкта на кафедре анатомии и физиологии и подготовил трактат «Основы движения крови по артериям». Но интересы Эйлера лежали в другом русле: его занимало как развитие самой математики, так и применения ее к механике, физике, астрономии, и в 1731 г. он перешел на кафедру физики, в 1733 г.—на кафедру математики.

По распоряжению президента Академии наук Блюментроста каждый профессор обязан был написать какой-либо трактат.

В 1732 г. Бернулли опубликовал работу «Замечания о рекуррентных последовательностях», где изложил метод решения алгебраических уравнений, не нуждающийся в предварительном определении границ, между которыми лежат положительные и отрицательные корни.

Слово рекуррентный означает возвратный. Рекуррентными формулами в математике называются такие, в которых какая-либо последующая величина вычисляется через предыдущие. Таковы же и последовательности. Именно: последовательность называется рекуррентной, если ее n-й член выражается через некоторые предыдущие линейно: an=a1an-1+aan-2+…+akan-k. К рекуррентным последовательностям относятся, например, известные геометрическая и арифметическая прогрессии, для которых an =an-1q, an=an-1q+d, где q — знаменатель геометрической прогрессии, d — разность арифметической. Могут быть и рекуррентные степенные ряды, т. е. ряды, коэффициенты которых образуют рекуррентные последовательности. Такие ряды рассматривал до Д. Бернулли А. Муавр в «Philosophical Transactions» за 1722 г. А. Муавр пришел к ним при решении одной вероятностной задачи.

Д. Бернулли предложил свой метод решения уравнений без обоснования, которое дано было впоследствии Л. Эйлером. Рассмотрим уравнение

a0xn +a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 (1)

и предположим, что оно имеет действительные различные корни x1, x2,…, xn. Составим конечно-разностное уравнение

a0yn+i+a1yn+i+…+anyi=0 (i = 0, 1, 2,…), (2)

в которое войдут коэффициенты аk (k=0; 1; 2;...) уравнения (1). Уравнение (2) представляет собой рекуррентное соотношение для последовательности

y0,y1,y2,…уi,…. (3)

Эта последовательность определяет решение конечноразностного уравнения (2). Для нахождения решения у1 нужно задать п начальных значений y0, y1,..., yn-1;

остальные уn, yn+1,…можно определить из уравнения (2).

В теории конечных разностей доказывается, что если корни x1, x2,…,xn уравнения (1) различны, то решения, конечно-разностного уравнения (2) имеют вид

yi=C1x1i+C2x2i+…+Cnxni (i=0, 1, 2,…), (4)

где C1, С2,…, Сn — произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий:

y0=C1+C2+...+Cn, (5)

y1=C1x1+C2x2+…+Cnxn,

yn-1=C1x1n-1C2x2n-2+…+Cnxnn-1.

Докажем теорему: если алгебраическое уравнение (1) имеет единственный наибольший по модулю корень x1, то отношение двух последовательных членов yi+1 и y1, решения конечно-разностного, уравнения (2) стремится при i®¥ к пределу, равному x1

yi+1

lim ——— = x1.

i®¥ yi

Предположим, что |x1|>|x2|≥…≥|xn|. Если корни хk (k=1, 2,..., n) различны, то из (4) получим

yi=x1i[C1+C2(x2/x1)i+…+Cn(xn/x1)i],

yi+1=x1i+1[C1+C2(x2/x1)i+1+…+Cn(xn/x1)i+1],

Найдем теперь

yi+1/yi=x1 (C1+C2(x2/x1)i+…+Cn(xn/x1)i)/( C1+C2(x2/x1)i+1+…+Cn(xn/x1)i+1)

Пусть С=0. Перейдем в последнем равенстве к пределу при i®¥ и учтем, что (x2/x1)i→0; (х3 /х2)i→0;…;(x4/x1)i→0. Получим то, что и требовалось доказать.

Может быть так, что C1=0, но С2≠0. Тогда указанный предел будет равен другому, наибольшему по абсолютной величине, корню уравнения.

В случае, когда отношение yi+1/yi, колеблется и не стремится к определенному пределу, предполагается, что у уравнения есть наибольшие по модулю комплексные корни.

Сделаем в уравнении замену x=1/z. После этого по методу Бернулли найдется наименьший по модулю отличный от нуля корень.

Реализация метода Бернулли производится так. Сначала задаются произвольные числа y0; y1,...,yn-1, затем по формуле

yn+1=-(anyi+an-1yi-1+…+a1yn+i-1)/a0 (i=0, 1, 2, …)

находятся числа уn, yn+1, yn+2,... и отношения yn/yn-1, yn+1/yn,… Если отношение yn+1/ yn+i-1 при возрастании i стремится к некоторому числу, то его принимают за наибольший по модулю корень уравнения (1). Если же отношение с ростом i к пределу не стремится, то уравнение может иметь несколько наибольших по модулю корней или же это будет свидетельством того, что для выбранных y0, y1,… значение C1=0.

Начальные значения y0, y1,…, yn-1 выбираются произвольно; обычно полагают y0=y1=…=yn-2=0,

yn-1=1. Метод Бернулли применяют также для нахождения комплексных корней уравнения (1).

В публикации 1738 г. Д. Бернулли распространил метод рекуррентных последовательностей на случай рядов.

Как вдруг появились ряды? Дифференциальное и интегральное исчисления возникли в связи с необходимостью решать конкретные механические и геометрические задачи, не поддававшиеся средневековой и античной математике. А ряды? Они на первый взгляд кажутся крайне искусственными. Но это глубокое заблуждение. Ряды возникли одновременно с дифференциальным и интегральным исчислениями, и теория их строилась Ньютоном, Лейбницем, представителями семьи Бернулли и последующими математиками. И при изучении их деятельности рельефно выступают ее проблематика и методология.

С рядами дело обстояло так же естественно, как и с другими важнейшими разделами математики, получившими бурное развитие в XVIII в.: они применялись там, где другие средства исследования отказывали. Степенные ряды давали возможность приближенно решать уравнения, вычислять значения функций, вычислять интегралы, не выражающиеся через конечное число элементарных функций, решать дифференциальные уравнения, не интегрируемые в конечном виде.

В 1732 г. Парижской академией был объявлен конкурс с удвоенной премией на тему «О взаимном наклонении планет». Премию получили Д. и И. Бернулли. Премированы также сочинения Д. Бернулли: «О лучшем способе устройства якорей» (1738), «О морском приливе и отливе» (1740), «О наилучшем способе устройства магнитных стрелок наклонения» (1743), «О лучшем способе определения времени в море» (1745-1746), «Теория магнита» (1742, 1744, 1746), «О теории течений и о лучшем способе их наблюдать» (1751 удвоенная премия), «О наиболее выгодном способе замены действия ветра на больших судах» (1753), «О наилучшем способе уменьшения боковой и килевой качки судна» (1757).

У семьи Бернулли есть также много других открытий в области высшей математики и физики. Вот несколько примеров таких открытий:

БЕРНУЛЛИ СХЕМА (назв. по имени Я. Бернулли), одна из основных математических моделей для описания независимых повторений опытов, используемых в теории вероятностей. Бернулли схема предполагает, что имеется некоторый опыт Х и связанное с ним случайное событие А (типичный пример: S— бросание монеты, А – выпадение герба). Производят n независимых повторений S. При каждом осуществлении S событие А может наступить с вероятностью р (здесь р=1/2), или наступить неудача с вероятностью g=1-p. Таким образом схема Бернулли определяется двумя параметрами: п и р.

БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА, одна из важнейших теорем теории вероятностей; является простейшим случаем т. н. закона больших чисел. Бернулли теорема была впервые опубликована в труде Я. Бернулли «Искусство предположений», изданном в 1713. Первые ее доказательства требовали сложных математических средств, лишь в сер. 19 в. П. Л. Чебышев нашёл необычайно изящное и краткое её доказательство. Точная формулировка теоремы Бернулли такова: если при каждом из п независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота т/п появления события удовлетворяет неравенству |т/п—р|<ε (ε—произвольно малое положительное число), становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе п испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности:

Р {|т/п—р|<ε}>1—р(1—р)/пε2. В. И. Битюцков.

БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ, дифференциальное уравнение 1-го порядка вида:

dy/dx + Py = Qya, где Р, Q — заданные непрерывные функции от х, а — постоянное число. Введением новой функции z=y1-a. Уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному

уравнению относительно z. Уравнение Бернулли было рассмотрено Я. Бернулли в 1695, метод решения опубликован И. Бернулли в 1697 г.

БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Уравнение Бернулли было выведено Д. Бернулли в 1738 г. для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности ρ, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

v2/2+p/ρ + gh = const, где g – ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на ρ, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объема жидкости, а другие два члена – его потенциальную энергию. Уравнение Бернулли в такой форме выражает закон сохранения энергии.

Фамилия Бернулли мне встречалась очень часто, но до некоторого времени я не знал, что она принадлежит ряду ученых - родственников. Я думаю, многие даже и не слышали этой фамилии или не догадываются, что Бернулли были теми людьми, о которых говорят, что они посвятили себя полностью науке.

Примечательно не то, что это семейство сделало ряд значимых открытий в разных областях науки, а то, что они, за исключением только некоторых членов семьи, были как-либо связаны с наукой, в частности с математикой. Нельзя сравнивать «умных» представителей этой фамилии с другими великими учеными, но они, пожалуй, были самыми гениальными учеными своего времени. Многие их открытия даже сейчас кажутся нам нереальными, недоказуемыми, но и как все гениальное – простыми.

Я не знаю, что мне в будущем пригодится из того, что я здесь изложил, но я точно знаю, что не встречу и не услышу о другой такой семье, подарившей миру столько гениев.

Список литературы

Н. Я. Виленкин «Великие математики Бернулли»

«Большая Советская Энциклопедия» (в 30 томах). Гл. редактор А. М. Прохоров. 3-е издание М.. «Советская Энциклопедия» 1970 г.

« Энциклопедический словарь юного математика»

«Справочник по элементарной математике» М. Я. Выгодский

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/