Метод разложения на множители

1. Метод разложения на множители.

Суть этого метода заключается в следующем: уравнение  можно заменить совокупностью уравнений:

; ; .

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. Приведем пример применения метода разложения на множители при решении иррациональных уравнений. [10]

Пример 11. Решите уравнение .

Решение. Для решения таких уравнений следует пользоваться правилом расщепления:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. [17]

Первый множитель равен нулю при , но тогда второй множитель потеряет смысл, так как при  он равен . Значит,  решением данного уравнения быть не может.

Второй множитель равен нулю при  или . Первый множитель определен для всех действительных чисел, значит,  и  могут быть решениями данного уравнения. Ответ. ,

2. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или "метод замены". Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат:

.

Далее последовательно получаем:

;

;

;

;

, .

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение  показывает, что  - корень уравнения, а  - посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , т.е. квадратное уравнение , решив которое находим два корня: , .

Ответ: , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда , .

Теперь задача сводится к решению уравнения  и уравнения . Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем , .

Ответ. , .

Отметим, что "бездумное" применение в Примере 11 метода "уединения радикала" и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 14. Решить уравнение

.

Введем новую переменную

, .

Исходное уравнение принимает вид

,

откуда учитывая ограничение , получаем . Тогда .

Ответ. .

Уравнения вида  (здесь a, b, c, d - некоторые числа, m, n - натуральные числа, обычно не превосходящие 4) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных и последующего перехода к рациональной системе. [17]. Пример 15. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные

 и .

Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины a и b не являются независимыми переменными - они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через a и b

 

 и .

Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между a и b

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных a и b

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа  и . Корень  посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим .

Ответ. .

Пример 16. Решить уравнение

. [6]

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z.

Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что .

Итак, надо решить систему уравнений

она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

 и систему

первая из них дает , вторая дает .

Ответ. , .

Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае. [17]

Пример 17. Решить уравнение

.

Решение. Введем новые переменные

 и .

По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:

откуда следует, что

.

Так как , то u и v должны удовлетворять системе

из которой после несложных преобразований получаем уравнение

.

Заметим, что это уравнение имеет корень . Тогда, разделив многочлен на , получаем разложение левой части уравнения на множители

.

Отсюда следует, что  - единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.

Ответ.