Навигация
Тригонометрическая замена
53347
знаков
0
таблиц
1
изображение
3. Тригонометрическая замена.
Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]
Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
, 
или 
, 
.
Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
tg t, 
или 
ctg t, 
.
Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
, или 
, .
Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.
Пример 18. Решить уравнение 
.
Решение. В данное уравнение входит выражение 
, поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену
tg t, где .
Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать
и исходное уравнение можно записать в виде
.
Поскольку 
не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению
.
Решая это уравнение, находим два возможных значения
и 
.
Из всех корней этих уравнений промежутку принадлежит единственное значение 
.
Поэтому соответствующее значение x равно
.
Ответ. 
.
Пример 19. Решить уравнение 
.
Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка 
, что приводит к мысли совершить замену
, где 
.
В результате такой замены приходим к уравнению
.
Учтем, что 
и 
, получим уравнение 
.
В силу ограничения выполнено 
, поэтому приходим к уравнению 
, которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду
.
Решая последнее уравнение, находим
или 
, 
.
Условию удовлетворяют лишь три значения
, 
, 
. Поэтому
, 
, 
.
Ответ. , , 
.
Похожие работы
... на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями. 2. Методика изучения неравенств в старших классах 2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики Ввиду важности и обширности материала, ...
... на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Глава II. Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. § 1. Организация самостоятельной работы при обучения решению уравнений в 5 - 9 классах. При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта ...
... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе 1.1. Из истории возникновения квадратных ...
... числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия. 2. Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе ...
0 комментариев