Марковська модель мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками

3. Марковська модель мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками

Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходять два незалежних пуасоновських потоки заявок з  й  відповідно. Моменти надходження заявки (однаково з якого потоку) утворять новий потік, що називається суперпозицією або об'єднанням первісних потоків.

Позначимо через , ,  – імовірності надходження  заявок за час  відповідно для потоку з інтенсивністю , , сумарного потоку. Тому що заявки потоків з  й  надходять незалежно друг від друга, то по формулі повної ймовірності одержимо:

, (3.1)

тобто суперпозиція пуасоновських потоків з інтенсивністю . [2]

Часи обслуговування заявок у різних вузлах незалежні, не залежать від процесу надходження заявок і мають показовий розподіл з параметрами  для -ого вузла, - константа ( ). Схематично мережа зображена на малюнку 3.1.

Заявки надходять двох типів: позитивні й негативні. Уперше модель уведена в роботі [8]. На малюнку 3.1 позитивні заявки позначені знайомий плюс, а негативні знайомий мінус, ,  – потоки на -ий вузол, – потік з -ого вузла, . На виході тільки позитивні заявки, далі позитивні заявки розбиваються на позитивні й негативні.

Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі визначаються в такий спосіб.

а) Якщо на приладі немає заявок, те негативна заявка, що надходить на прилад, губиться;

б) Якщо на приладі немає заявок, те вступник позитивна заявка починає обслуговуватися;

в) Якщо на приладі заявка позитивна, те негативна заявка, що прийшла, вибиває заявку із приладу й позитивна заявка губиться.

г) Якщо в черзі  заявок позитивних, те прихожа негативна заявка, витісняє останню (позитивну) заявку й у черзі стає  заявка ( -ая позитивна й негативна заявка губиться).

Стан мережі описується випадковим процесом

,

де  – число позитивних заявок у момент , відповідно в першому, другому, третьому вузлі. Відповідно до розділу 1 і з огляду на формулу (3.1)  – марковський процес.

Таким чином, відповідно до визначення 1.3 і вищесказаному, побудована марковська модель відкритої мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками.

3.1 Складання рівнянь трафіка

Розглянемо ізольований -й вузол ( ), уважаючи, що на нього надходить потік заявок інтенсивності . Граф переходів зобразиться в такий спосіб.

Тоді відповідно до малюнка 3.1.1, одержимо наступні співвідношення

, ,  (3.1.1)

де .

Відповідно до малюнка 3.1

, . (3.1.2)

Для марковської моделі мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками рівняння трафіка мають такий вигляд:

,

,

,

,

,

.

З огляду на формулу (3.1.2) запишемо ще три рівняння

,

,

.

Таким чином, рівняння трафіка мають такий вигляд

.  (3.1.3)

,  (3.1.4)

, (3.1.5)

, (3.1.6)

, (3.1.7)

, (3.1.8)

, (3.1.9)

, (3.1.10)

, (3.1.11)

Підставимо формулу (3.1.9) в (3.1.5) і (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) і (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) і (3.1.4). Тоді рівняння трафіка запишуться в такий спосіб

,  (3.1.12)

,  (3.1.13)

, (3.1.14)

, (3.1.15)

, (3.1.16)

. (3.1.17)